Resolución paso a paso
Matemáticas
Examen de la Región de Murcia (EBAU 2021, julio): se responden cuatro cuestiones de ocho; aquí se resuelven todas. En la cuestión 6 el PDF pierde el signo menos de una coordenada de $B$ y lo restituyo.
Cuestión 1 · Sistema con parámetro $a$
$$\begin{cases}x+ay-z=0\\2x+y+az=0\\x+5y-az=a+1\end{cases}$$
$$|A|=\begin{vmatrix}1&a&-1\\2&1&a\\1&5&-a\end{vmatrix}=3a^2-6a-9=3(a-3)(a+1)$$
a) Solución única:
$|A|\neq0$, es decir, $a\neq3$ y $a\neq-1$.
b) Infinitas soluciones: $a=-1$.
El sistema queda homogéneo: $x-y-z=0$, $2x+y-z=0$, $x+5y+z=0$, y la tercera ecuación es $-3F_1+2F_2$, de modo que rango 2 < 3. Sumando las dos primeras: $3x-2z=0\Rightarrow z=\tfrac32x$ y $y=x-z=-\tfrac x2$:
$$(x,y,z)=\lambda\,(2,\,-1,\,3),\qquad\lambda\in\mathbb{R}$$
c) Sin solución: $a=3$.
Rango$(A)=2$ con $F_3=\tfrac95F_1-\tfrac25F_2$ en los coeficientes, lo que exige término independiente $0$, pero es $a+1=4$: rango$(A^*)=3$, incompatible.
Cuestión 2 · $A=\begin{pmatrix}2&a\\-1&2\end{pmatrix}$
a) Comprobación.
$\text{tr}(A)=4$, $|A|=4+a$.
$$A^2=\begin{pmatrix}4-a&4a\\-4&4-a\end{pmatrix}$$
$$\text{tr}(A)\,A-|A|\,I=\begin{pmatrix}8&4a\\-4&8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4+a&0\\0&4+a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-a&4a\\-4&4-a\end{pmatrix}$$
Coinciden para cualquier $a$ ✓.
b) Regular:
$|A|=4+a\neq0\iff\boxed{a\neq-4}$.
c) $AXA^t=A$ con $a=3$.
$A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&2\end{pmatrix}$, $|A|=7$. Multiplicando por $A^{-1}$ a la izquierda: $XA^t=I$, luego $X=(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$:
$$A^{-1}=\frac17\begin{pmatrix}2&-3\\1&2\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ X=\frac17\begin{pmatrix}2&1\\-3&2\end{pmatrix}$$
Cuestión 3 · $f(x)=x^2e^{-x}$
a) Extremos y monotonía.
$f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$, que se anula en $x=0$ y $x=2$ (el factor $e^{-x}$ es siempre positivo).
- $x<0$: $f'<0$, decreciente. $0<x<2$: $f'>0$, creciente. $x>2$: $f'<0$, decreciente.
- Mínimo relativo en $x=0$: $f(0)=0$. Máximo relativo en $x=2$: $f(2)=4e^{-2}\approx0{,}541$.
b) Límites.
- $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}=+\infty$ (tanto $x^2$ como $e^{-x}$ tienden a $+\infty$).
- $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=\lim\frac{x^2}{e^x}=0$ (la exponencial domina; por L'Hôpital dos veces: $\tfrac{2}{e^x}\to0$).
Cuestión 4 · Integrales
a)
$\displaystyle\int x\sin(x^2)\,dx$ con el cambio $u=x^2$, $du=2x\,dx$:
$$\frac12\int\sin u\,du=-\frac12\cos u+C=-\frac12\cos(x^2)+C$$
b)
$\displaystyle\int_0^ax\sin(x^2)dx=\left[-\tfrac12\cos x^2\right]_0^a=\frac{1-\cos(a^2)}{2}=1\Rightarrow\cos(a^2)=-1\Rightarrow a^2=\pi+2k\pi$. El menor valor positivo es $a^2=\pi$:
$$\boxed{a=\sqrt\pi}$$
Cuestión 5 · Dos rectas
$r:\ \dfrac{x-1}1=\dfrac y1=\dfrac{z-1}{-1}$, es decir, $(1+t,\ t,\ 1-t)$, y $s:\ \begin{cases}x-2y=1\\y+z=1\end{cases}$, es decir, $(1+2\lambda,\ \lambda,\ 1-\lambda)$ con dirección $(2,1,-1)$.
a) Punto de corte.
Sustituyendo $r$ en $s$: $x-2y=1+t-2t=1-t=1\Rightarrow t=0$, y $y+z=t+1-t=1$ se cumple siempre. El punto es $(1,0,1)$ (es el punto de $s$ con $\lambda=0$). Las direcciones $(1,1,-1)$ y $(2,1,-1)$ no son proporcionales, así que se cortan en $(1,0,1)$.
b) Ángulo.
$$\cos\theta=\frac{|(1,1,-1)\cdot(2,1,-1)|}{\sqrt3\,\sqrt6}=\frac4{\sqrt{18}}=\frac{2\sqrt2}{3}\ \Rightarrow\ \theta\approx19{,}47^\circ$$
c) Plano que contiene a ambas.
Normal: $(1,1,-1)\times(2,1,-1)=(0,-1,-1)\parallel(0,1,1)$. Pasa por $(1,0,1)$:
$$\boxed{y+z-1=0}$$
Cuestión 6 · Triángulo $ABC$
$A=(2,0,0)$ y $B=(-1,12,4)$. El tercer vértice $C=(x,0,z)$ está en $r:\ 4x+3z=33,\ y=0$ (dirección $(3,0,-4)$).
a) $r\perp AC$.
$\overrightarrow{AC}=(x-2,0,z)$ y $\overrightarrow{AC}\cdot(3,0,-4)=3(x-2)-4z=0\Rightarrow3x-4z=6$. Con $4x+3z=33$: $25z=75\Rightarrow z=3$ y $x=6$:
$$\boxed{C=(6,\,0,\,3)}$$
b) Ángulo recto en $A$ y área.
$\overrightarrow{AB}=(-3,12,4)$ y $\overrightarrow{AC}=(4,0,3)$:
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-12+0+12=0$$
Sí hay un ángulo recto en $A$. Con $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+144+16}=13$ y $|\overrightarrow{AC}|=5$:
$$\text{Área}=\tfrac12\cdot13\cdot5=\frac{65}{2}=32{,}5\ \text{u}^2$$
Cuestión 7 · Urna con 12 bolas
5 negras (1 a 5) y 7 blancas (1 a 7). Pares: negras 2 y 4; blancas 2, 4 y 6.
a)
$P(\text{blanca})=\dfrac7{12}$.
b)
$P(\text{par})=\dfrac{2+3}{12}=\dfrac5{12}$.
c)
$P(\text{par}\mid\text{blanca})=\dfrac37$.
d)
$P(\text{blanca}\cap\text{par})=\dfrac3{12}=\dfrac14$.
e)
$P(\text{blanca}\mid\text{par})=\dfrac35$.
Cuestión 8 · Juan llega tarde
a)
$X$ = número de días que llega tarde en 9 días: distribución binomial $B(n=9,\ p=0{,}45)$.
b)
Media $\mu=np=9\cdot0{,}45=\mathbf{4{,}05}$ días; desviación típica $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{9\cdot0{,}45\cdot0{,}55}=\mathbf{1{,}49}$.
c)
Sube un punto si llega tarde como mucho 2 días:
$$P(X\leq2)=0{,}55^9+9\cdot0{,}45\cdot0{,}55^8+36\cdot0{,}45^2\cdot0{,}55^7\approx0{,}0046+0{,}0339+0{,}1110\approx\mathbf{0{,}1495}$$