Resolución paso a paso

Matemáticas

País Vasco · 2022 · Convocatoria ordinaria

Examen del País Vasco (EAU 2022, ordinaria): cinco partes de 2,5 puntos; se responden cuatro y en cada una se elige un ejercicio. Aquí se resuelven todos.

Primera parte · Ejercicio A1 (sistema con parámetro $\alpha$)

$$\begin{cases}x+y+\alpha z=\alpha\\2x+\alpha y+\alpha z=1\\x+\alpha y+z=1\end{cases}$$

Discusión.

$$|A|=\begin{vmatrix}1&1&\alpha\\2&\alpha&\alpha\\1&\alpha&1\end{vmatrix}=(\alpha-\alpha^2)-(2-\alpha)+\alpha^2=2\alpha-2=2(\alpha-1)$$

• $\alpha\neq1$: compatible determinado.
• $\alpha=1$: las ecuaciones 1 y 3 coinciden ($x+y+z=1$): rango$(A)$ = rango$(A^*)=2<3$: compatible indeterminado.

Resolución para $\alpha=-1$: $x+y-z=-1$, $2x-y-z=1$, $x-y+z=1$. Sumando la primera y la tercera: $2x=0\Rightarrow x=0$. Entonces $y-z=-1$ y $-y-z=1$, de donde $z=0$ e $y=-1$:

$$(x,y,z)=(0,-1,0)$$

Resolución para $\alpha=1$: $x+y+z=1$ y $2x+y+z=1$. Restando, $x=0$ e $y+z=1$:

$$(x,y,z)=(0,\ \lambda,\ 1-\lambda),\qquad\lambda\in\mathbb{R}$$

Primera parte · Ejercicio B1 (matriz con parámetro $m$)

$A=\begin{pmatrix}m&m&2\\1&m-2&0\\0&2&2\end{pmatrix}$.

Segunda parte · Ejercicio A2

$r:\ (t,\,2t,\,0)$ y $\pi:\ x+y+z-2=0$. Sea $P=(t,2t,0)$.

• Distancia al plano: $d(P,\pi)=\dfrac{|t+2t-2|}{\sqrt3}=\dfrac{|3t-2|}{\sqrt3}$.
• Distancia al origen: $d(P,O)=\sqrt{t^2+4t^2}=\sqrt5\,|t|$.

Igualando y elevando al cuadrado: $\dfrac{(3t-2)^2}{3}=5t^2\Rightarrow9t^2-12t+4=15t^2\Rightarrow3t^2+6t-2=0$:

$$t=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{6}=-1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\approx0{,}291\ \text{o}\ -2{,}291$$

No es único: hay dos puntos, $P=\left(t,2t,0\right)$ con $t=-1\pm\tfrac{\sqrt{15}}3$, es decir, $P_1\approx(0{,}291,\ 0{,}582,\ 0)$ y $P_2\approx(-2{,}291,\ -4{,}582,\ 0)$.

Segunda parte · Ejercicio B2

$P=(1,2,a)$ con $a\neq0$ y $\pi:\ x+y+2z=3$ (normal $\vec n=(1,1,2)$, $|\vec n|^2=6$). Valor del plano en $P$: $1+2+2a-3=2a$.

El pie de la perpendicular desde $P$ es

$$M=P-\frac{2a}{6}\vec n=\left(1-\tfrac a3,\ 2-\tfrac a3,\ \tfrac a3\right)$$

y el simétrico es $P'=2M-P$:

$$\boxed{P'=\left(1-\frac{2a}3,\ 2-\frac{2a}3,\ -\frac a3\right)}$$

(Comprobación: el punto medio de $P$ y $P'$ es $M$, que cumple $x+y+2z=3$.)

Tercera parte · Ejercicio A3 ($f(x)=(x-1)^2e^{-2x}$)

$$f'(x)=2(x-1)e^{-2x}-2(x-1)^2e^{-2x}=2(x-1)(2-x)\,e^{-2x}$$

Se anula en $x=1$ y $x=2$; como $e^{-2x}>0$, el signo lo da $(x-1)(2-x)$, positivo en $(1,2)$.

• Decreciente en $(-\infty,1)$ y en $(2,+\infty)$; creciente en $(1,2)$.
• Mínimo en $x=1$: $f(1)=0$. Máximo en $x=2$: $f(2)=e^{-4}\approx0{,}018$.

Tercera parte · Ejercicio B3

$f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$, con $f'(x)=3x^2+2Ax+B$. Las condiciones son $f(1)=0$ y $f'(-1)=f'(3)=2$ (paralelas a $y=2x+1$):

$$\begin{cases}1+A+B+C=0\\3-2A+B=2\\27+6A+B=2\end{cases}$$

Restando las dos últimas: $24+8A=0\Rightarrow A=-3$. Entonces $B=-1+2A=-7$ y $C=-1-A-B=9$:

$$\boxed{A=-3,\quad B=-7,\quad C=9}\qquad f(x)=x^3-3x^2-7x+9$$

(Comprobación: $f(1)=0$, $f'(-1)=3+6-7=2$ y $f'(3)=27-18-7=2$.)

Cuarta parte · Ejercicio A4

$\displaystyle\int\frac{7x+13}{(x+1)(x^2-x-2)}\,dx$. Como $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, el denominador es $(x+1)^2(x-2)$. Descomposición en fracciones simples:

$$\frac{7x+13}{(x+1)^2(x-2)}=\frac A{x+1}+\frac B{(x+1)^2}+\frac C{x-2}$$

• $C=\dfrac{7\cdot2+13}{(2+1)^2}=3$.
• $B=\dfrac{7(-1)+13}{-1-2}=-2$.
• Coeficientes de $x^2$: $A+C=0\Rightarrow A=-3$.

$$\int\left(\frac{-3}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}+\frac3{x-2}\right)dx=-3\ln|x+1|+\frac2{x+1}+3\ln|x-2|+C$$

Cuarta parte · Ejercicio B4

$f(x)=e^x$, $g(x)=e^{-x}$ e $y=e$. Cortes: $e^x=e$ en $x=1$; $e^{-x}=e$ en $x=-1$; $f$ y $g$ se cortan en $(0,1)$. El recinto está por encima de ambas curvas y por debajo de la recta $y=e$, con $-1\leq x\leq1$ (una "cubeta" con vértice en $(0,1)$). Por simetría:

$$\text{Área}=2\int_0^1\left(e-e^x\right)dx=2\Big[ex-e^x\Big]_0^1=2\big[(e-e)-(0-1)\big]=\boxed{2\ \text{u}^2}$$

Quinta parte · Ejercicio A5 (urnas $T$ y $R$)

$T$: 4 negras y 6 blancas; $R$: 7 negras y 3 blancas. Se elige una urna al azar, se pasa una bola a la otra urna (que queda con 11 bolas) y se extrae una bola de esta.

Quinta parte · Ejercicio B5 (peso de piezas)

$X\sim N(52;\,6{,}5)$.