Física

$$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}=\sqrt{\frac{28400}{7100}}=\sqrt4=2$$

El satélite bajo (Sentinel) va el doble de rápido que el GPS.

$$E=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}=\frac12\,\frac{GMm}{r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}$$

(ii) Cociente. Con la misma masa $m$: $\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{r_2}{r_1}=4$. El Sentinel tiene una energía mecánica cuatro veces más negativa (está más ligado a la Tierra).

$$v=\sqrt{\frac{2|q|\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}5\cdot10^{-12}\cdot1500}{2{,}0\cdot10^{-9}}}=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\ \text{m/s}$$

No modifica la energía cinética: la fuerza magnética $\vec F=q\,\vec v\times\vec B$ es siempre perpendicular a la velocidad y, por tanto, no realiza trabajo. La energía cinética en el papel solo depende del trabajo del campo eléctrico (que depende de la diferencia de potencial entre los puntos inicial y final); el campo magnético solo curva la trayectoria.

$$V=2\,\frac{kQ}{r}=2\cdot\frac{9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-6}}{0{,}015}=4{,}8\cdot10^{6}\ \text{V}$$

La energía potencial inicial de $q=-2\ \mu$C es $U_i=qV=-9{,}6$ J, y en el infinito $U_\infty=0$. La fuerza externa (que mueve la carga sin energía cinética final) compensa el cambio de energía potencial:

$$W_{ext}=U_\infty-U_i=0-(-9{,}6)=+9{,}6\ \text{J}$$

Es positivo porque $q$ es atraída por las otras dos cargas: hay que realizar trabajo contra el campo.

• Posición inicial (campo perpendicular al plano, $0°$ con la normal): $\Phi_1=BS\cos0°=0{,}6\cdot8{,}35\cdot10^{-4}=5{,}0\cdot10^{-4}$ Wb.
• Posición final ($45°$): $\Phi_2=BS\cos45°=5{,}0\cdot10^{-4}\cdot0{,}707=3{,}5\cdot10^{-4}$ Wb.

¿Se induce fem? Sí: mientras la espira gira, el flujo varía con el tiempo, y por la ley de Faraday $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}\neq0$. La fem media durante el giro es $\varepsilon=-\dfrac{\Phi_2-\Phi_1}{\Delta t}=\dfrac{1{,}5\cdot10^{-4}}{\Delta t}$ V ($\Delta t$ es el tiempo que dura el giro).

$$I=I_0\,10^{\beta/10}=10^{-12}\cdot10^{10{,}3}=2{,}0\cdot10^{-2}\ \text{W/m}^2$$

Propagación esférica: $P=I\cdot4\pi r^2=2{,}0\cdot10^{-2}\cdot4\pi\cdot10^2\approx25\ \text{W}$.

$$f'=f\,\frac{v}{v-v_s}\;\Rightarrow\;85{,}5=85\cdot\frac{1500}{1500-v_s}\;\Rightarrow\;1500-v_s=\frac{85\cdot1500}{85{,}5}=1491{,}2\;\Rightarrow\;v_s\approx8{,}8\ \text{m/s}$$

$$\tfrac12mv^2=E-\tfrac12kx^2=0{,}50-\tfrac12\cdot400\cdot0{,}03^2=0{,}32\ \text{J}\;\Rightarrow\;v=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}32}{2{,}0}}\approx0{,}57\ \text{m/s}$$

$$\operatorname{sen}\theta_c=\frac{n_a}{n_v}=\frac{1{,}33}{1{,}5}=0{,}887\;\Rightarrow\;\theta_c\approx62{,}5°$$

$$90°-\beta\ge62{,}5°\;\Rightarrow\;\beta\le27{,}5°\;\Rightarrow\;\operatorname{sen}\alpha_{max}=1{,}5\operatorname{sen}27{,}5°=0{,}693\;\Rightarrow\;\alpha_{max}\approx43{,}9°$$

Hay reflexión total en la cara lateral para $\alpha\le43{,}9°$.

$$\lambda=\frac{6{,}6\cdot10^{-34}}{5{,}4\cdot10^{-24}}\approx1{,}2\cdot10^{-10}\ \text{m}=0{,}12\ \text{nm}$$

• Tiempo medido desde la Tierra: $t=\dfrac{4\ \text{años-luz}}{0{,}8c}=5$ años. El astronauta mide el tiempo propio (dilatación del tiempo): $\tau=\dfrac t\gamma=5\cdot0{,}6=3$ años.
• Energía cinética relativista: $K=(\gamma-1)mc^2=\dfrac23\cdot70\cdot(3\cdot10^{8})^2\approx4{,}2\cdot10^{18}$ J.

$$p_{min}\approx\frac{h}{4\pi\Delta x}=\frac{6{,}6\cdot10^{-34}}{4\pi\cdot10^{-14}}=5{,}25\cdot10^{-21}\ \text{kg·m/s}$$

$$K_{min}=\frac{p^2}{2m}=\frac{(5{,}25\cdot10^{-21})^2}{2\cdot1{,}7\cdot10^{-27}}=8{,}1\cdot10^{-15}\ \text{J}=5{,}1\cdot10^{4}\ \text{eV}\ (\approx51\ \text{keV})$$

$$N_0=\frac{A_0}{\lambda}=\frac{3{,}44\cdot10^{6}}{1{,}00\cdot10^{-6}}=3{,}43\cdot10^{12}$$

En $24$ d pasan $3$ periodos: queda $\tfrac18N_0$, así que se han desintegrado $\tfrac78N_0$:

$$N_{des}=\tfrac78\cdot3{,}43\cdot10^{12}\approx3{,}0\cdot10^{12}\ \text{núcleos}$$