Resolución paso a paso

Matemáticas

Aragón · 2023 · Convocatoria ordinaria

El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5); aquí se resuelven todas. En las preguntas 6 y 9 el texto del PDF está parcialmente ilegible y lo indico allí.

Pregunta 1 · $f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{x}+2$ (si $x\neq0$), $f(0)=2$

(Se lee la función como $f(x)=ax-\frac{\sin x}{x}+2$ para $x\neq0$; es la lectura con la que el apartado b) tiene solución.)

a) Continuidad.

Para $x\neq0$ es continua (suma y cociente de funciones continuas con denominador no nulo). En $x=0$:

$$\lim_{x\to0}\left(ax-\frac{\sin x}{x}+2\right)=0-1+2=1\neq f(0)=2$$

Es discontinua en $x=0$ para todo valor de $a$ (discontinuidad evitable: bastaría definir $f(0)=1$). Es continua en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

b) Extremo relativo en $x=-\tfrac\pi2$.

Para $x\neq0$:

$$f'(x)=a-\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$

En $x=-\tfrac\pi2$: $\cos=0$ y $\sin=-1$, luego $x\cos x-\sin x=1$ y $x^2=\tfrac{\pi^2}{4}$:

$$f'\!\left(-\tfrac\pi2\right)=a-\frac4{\pi^2}=0\ \Rightarrow\ \boxed{a=\frac{4}{\pi^2}}$$

Tipo de extremo. Se calcula la segunda derivada, $f''(x)=-\dfrac{-x^2\sin x-2x\cos x+2\sin x}{x^3}$. En $x=-\tfrac\pi2$: numerador interior $=\tfrac{\pi^2}{4}-2$ y $x^3=-\tfrac{\pi^3}8$, de modo que

$$f''\!\left(-\tfrac\pi2\right)=\frac{2\pi^2-16}{\pi^3}>0\quad(\text{pues }\pi^2>8)$$

Es un mínimo relativo.

Pregunta 2 · Límite de tipo $1^\infty$

$$L=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}\right]^{\ln x}$$

La base tiende a 1: $\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+3x+1}=1-\dfrac{x}{x^2+3x+1}$. Se aplica $L=e^{\lim\ln x\,(\text{base}-1)}$:

$$\lim_{x\to+\infty}\ln x\cdot\left(-\frac{x}{x^2+3x+1}\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x\ln x}{x^2+3x+1}=0$$

porque $x\ln x$ crece más despacio que $x^2$. Por tanto $L=e^0=\boxed{1}$.

Pregunta 3 · Área entre una parábola y una recta

$f(x)=-x^2+4x$ y la recta de pendiente $\tfrac12$ que corta a $f$ en $x=\tfrac72$. Como $f\!\left(\tfrac72\right)=-\tfrac{49}4+14=\tfrac74$, la recta es $y-\tfrac74=\tfrac12\left(x-\tfrac72\right)$, es decir, $y=\dfrac x2$.

Cortes con la parábola: $-x^2+4x=\dfrac x2\Rightarrow x^2-\dfrac72x=0\Rightarrow x=0$ y $x=\tfrac72$. En ese intervalo la parábola está por encima de la recta.

$$\text{Área}=\int_0^{7/2}\left(-x^2+\frac72x\right)dx=\left[-\frac{x^3}3+\frac{7x^2}4\right]_0^{7/2}=-\frac{343}{24}+\frac{343}{16}=\frac{343}{48}\approx7{,}15\ \text{u}^2$$

Pregunta 4 · $f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}$

a) Dominio.

Hace falta $x^2-x-2>0\iff(x-2)(x+1)>0$:

$$\text{Dom}f=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$$

b) Asíntotas y ramas parabólicas.

Verticales: en los extremos finitos del dominio. $\lim_{x\to-1^-}f=\dfrac{-3}{0^+}=-\infty$ y $\lim_{x\to2^+}f=\dfrac{3}{0^+}=+\infty$: $x=-1$ y $x=2$ son asíntotas verticales (cada una por un solo lado).
Horizontales: $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}=2$ y, como $\sqrt{x^2}=-x$ para $x<0$, $\lim_{x\to-\infty}f=-2$. Hay dos asíntotas horizontales: $y=2$ en $+\infty$ e $y=-2$ en $-\infty$.
No hay asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas (la función está acotada en el infinito).

Pregunta 5 · Matrices $A$, $B$, $C$, $D$

$A=\begin{pmatrix}-2&1\\2&0\\1&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\-2&0\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}2&3\\1&0\end{pmatrix}$, $D=AB^T-2I$ ($I$ de orden 3).

a) Inversa de $D$.

$$AB^T=\begin{pmatrix}-2&-1&4\\2&2&-4\\1&0&-2\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}-4&-1&4\\2&0&-4\\1&0&-4\end{pmatrix}$$

Desarrollando $|D|$ por la columna 2 (solo el elemento $-1$ es no nulo): $|D|=(-1)\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&-4\\1&-4\end{vmatrix}=(-1)(-1)(-4)=-4\neq0$. $D$ es invertible. Por adjuntos:

$$D^{-1}=\frac1{-4}\begin{pmatrix}0&-4&4\\4&12&-8\\0&-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&-3&2\\0&\tfrac14&-\tfrac12\end{pmatrix}$$

(Comprobación: $D\,D^{-1}=I$.)

b) $CX=A^TB$.

$$A^TB=\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2\\3&0\end{pmatrix}$$

$|C|=-3$ y $C^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\\tfrac13&-\tfrac23\end{pmatrix}$. Entonces

$$X=C^{-1}A^TB=\begin{pmatrix}0&1\\\tfrac13&-\tfrac23\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&2\\3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\-\tfrac83&\tfrac23\end{pmatrix}$$

Comprobación: $CX=\begin{pmatrix}-2&2\\3&0\end{pmatrix}$ ✓.

Pregunta 6 · Sistema con parámetro $m$

Aviso. Las ecuaciones del sistema no se leen con claridad en el texto extraído del PDF (se pierden las incógnitas), así que no puedo resolverlo con fiabilidad. El método es: se escribe la matriz de coeficientes $A(m)$ y la ampliada $A^*(m)$; se calculan los valores de $m$ para los que $|A|=0$; para $m$ distinto de esos valores el sistema es compatible determinado (Rouché–Frobenius), y para cada valor crítico se comparan los rangos de $A$ y $A^*$ (iguales: compatible indeterminado; distintos: incompatible). Para $m=2$ se sustituye y se resuelve por Gauss.

Pregunta 7 · $A^n$ y ecuación matricial

$A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-3&5\\2&1\end{pmatrix}$.

a) $A^n$.

$$A^2=\begin{pmatrix}1-2&2-4\\-1+2&-2+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&2\end{pmatrix}=-A$$

Entonces $A^3=-A^2=A$, $A^4=-A$... En general (por inducción: $A^{n+1}=A^nA=(-1)^{n-1}A\cdot A=(-1)^{n-1}(-A)=(-1)^nA$):

$$A^n=(-1)^{n-1}A=(-1)^{n-1}\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}$$

b) $(A+2I)X=B$.

$A+2I=\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}$, $|A+2I|=2\neq0$ y su inversa es $\begin{pmatrix}0&-1\\\tfrac12&\tfrac32\end{pmatrix}$:

$$X=(A+2I)^{-1}B=\begin{pmatrix}0&-1\\\tfrac12&\tfrac32\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&5\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-1\\\tfrac32&4\end{pmatrix}$$

Pregunta 8 · Plano que corta a los ejes

$\pi:\ 2x+by-2z+4=0$ con $b\neq0$ (se lee la variable que acompaña a $b$ como $y$). Cortes con los ejes:

Eje $X$ ($y=z=0$): $2x+4=0\Rightarrow A(-2,0,0)$.
Eje $Y$ ($x=z=0$): $by+4=0\Rightarrow B\left(0,-\tfrac4b,0\right)$.
Eje $Z$ ($x=y=0$): $-2z+4=0\Rightarrow C(0,0,2)$.

$\overrightarrow{AB}=\left(2,-\tfrac4b,0\right)$ y $\overrightarrow{AC}=(2,0,2)$:

$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left(-\tfrac8b,\,-4,\,\tfrac8b\right),\qquad\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{\tfrac{128}{b^2}+16}$$

$$\text{Área}=\tfrac12\sqrt{\tfrac{128}{b^2}+16}=6\ \Rightarrow\ \tfrac{128}{b^2}+16=144\ \Rightarrow\ b^2=1\ \Rightarrow\ \boxed{b=1\ \text{o}\ b=-1}$$

Pregunta 9 · Vectores independientes y producto escalar

Aviso. Las definiciones de $\vec r,\vec s,\vec t$ y la expresión del apartado b) no se leen con seguridad en el texto extraído del PDF; doy el método.

Como $\{\vec u,\vec v,\vec w\}$ son independientes, forman una base. Se escriben $\vec r,\vec s,\vec t$ como combinaciones lineales de $\vec u,\vec v,\vec w$ y se calcula el determinante de la matriz de sus coeficientes: son independientes si es distinto de 0, y dependientes si es 0.

Si además $\{\vec u,\vec v,\vec w\}$ son ortogonales y unitarios, $\vec u\cdot\vec u=\vec v\cdot\vec v=\vec w\cdot\vec w=1$ y los productos escalares cruzados son $0$. Se sustituyen las expresiones, se aplica la linealidad del producto escalar y solo sobreviven los términos «mismo vector · mismo vector», cuyos coeficientes se suman.

Pregunta 10 · Sulfitos en el vino

$X\sim N(150,\,30)$.

a) Vino desechado ($X>200$).

$z=\dfrac{200-150}{30}=1{,}67$ (valor más próximo de la tabla):

$$P(X>200)=1-\Phi(1{,}67)=1-0{,}9525=\mathbf{0{,}0475}\quad(4{,}75\,\%)$$

b) Entre 110 y 150 mg/l.

$z_1=\dfrac{110-150}{30}=-1{,}33$ y $z_2=0$:

$$P(110<X<150)=\Phi(0)-\Phi(-1{,}33)=0{,}5-(1-0{,}9082)=0{,}4082\ \Rightarrow\ \mathbf{40{,}8\,\%}$$