Resolución paso a paso
Física
Examen de 4 bloques; en cada uno la pregunta «a» es obligatoria y hay que elegir entre las restantes. Se resuelven todas. Constantes: $G=6{,}67\cdot10^{-11}$, $k=9\cdot10^{9}$ (SI).
Bloque 1 · Campo gravitatorio
1a) Velocidad de escape. En la superficie del planeta, la energía mecánica de un cuerpo de masa $m$ debe ser al menos nula para que llegue al infinito con velocidad cero:
$$\frac12mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0\;\Longrightarrow\;v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$
1b) Órbita del fragmento. Radio orbital $r=R_T+h=6{,}37\cdot10^{6}+6\cdot10^{5}=6{,}97\cdot10^{6}$ m. La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:
$$\frac{GM_Tm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\;\Rightarrow\;v=\sqrt{\frac{GM_T}{r}}\approx7{,}56\cdot10^{3}\ \text{m/s}$$
$$E_m=-\frac{GM_Tm}{2r}=-\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot1500}{2\cdot6{,}97\cdot10^{6}}\approx-4{,}28\cdot10^{10}\ \text{J}$$
1c) Escape y energía mínima de lanzamiento.
$$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}\approx1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m/s}$$
La sonda debe pasar de la energía en el suelo, $-\dfrac{GM_Tm}{R_T}$, a la de la órbita, $-\dfrac{GM_Tm}{2r}$:
$$E_{min}=-\frac{GM_Tm}{2r}+\frac{GM_Tm}{R_T}=GM_Tm\left(\frac1{R_T}-\frac1{2r}\right)\approx5{,}09\cdot10^{10}\ \text{J}$$
(calculado con $m=1500$ kg; por kilogramo de sonda son $3{,}39\cdot10^{7}$ J/kg).
Bloque 2 · Campo electromagnético
2a) Campo en el origen. $q_1=3$ nC en $x=+5$ cm y $q_2=-5$ nC en $x=-3$ cm.
- $q_1$ (positiva) aleja el campo de ella: en el origen apunta hacia $-x$: $E_1=\dfrac{kq_1}{r_1^2}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot3\cdot10^{-9}}{0{,}05^2}=1{,}08\cdot10^{4}$ N/C → $-1{,}08\cdot10^{4}\,\hat\imath$.
- $q_2$ (negativa) atrae: el campo apunta hacia ella, también hacia $-x$: $E_2=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot5\cdot10^{-9}}{0{,}03^2}=5{,}0\cdot10^{4}$ N/C → $-5{,}0\cdot10^{4}\,\hat\imath$.
$$\vec E=-6{,}08\cdot10^{4}\,\hat\imath\ \text{N/C}$$
Si ambas cargas cambiaran de signo, cada campo invertiría su sentido: $\vec E=+6{,}08\cdot10^{4}\,\hat\imath$ N/C, con el mismo módulo.
2b) Placas paralelas. Campo uniforme: $E=\dfrac{\Delta V}{d}=\dfrac{1000}{0{,}02}=5\cdot10^{4}$ V/m. La partícula, con $q=3\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=4{,}8\cdot10^{-19}$ C y $m=2\cdot10^{-23}$ kg, gana energía cinética $q\Delta V$:
$$\frac12mv^2=q\Delta V\;\Rightarrow\;v=\sqrt{\frac{2q\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot4{,}8\cdot10^{-19}\cdot1000}{2\cdot10^{-23}}}\approx6{,}93\cdot10^{3}\ \text{m/s}$$
2c) Cable rectilíneo.
$$B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot40}{2\pi\cdot0{,}05}=1{,}6\cdot10^{-4}\ \text{T}$$
El campo forma circunferencias concéntricas alrededor del cable, perpendiculares a él; el sentido lo da la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente, los demás dedos indican el giro de $\vec B$).
Bloque 3 · Vibraciones y ondas
3a) Fibra óptica. El rayo forma $37°$ con la superficie, es decir, $53°$ con la normal. Ley de Snell: $n_0\operatorname{sen}53°=n\operatorname{sen}\theta$:
$$\operatorname{sen}\theta=\frac{\operatorname{sen}53°}{1{,}5}=0{,}532\;\Rightarrow\;\theta\approx32{,}2°$$
Ángulo límite vidrio–aire (reflexión total): $\operatorname{sen}\theta_c=\dfrac{n_0}{n}=\dfrac1{1{,}5}\Rightarrow\theta_c\approx41{,}8°$. Para ángulos de incidencia mayores, la luz queda confinada.
3b) Cuerda de la bandurria. Modo fundamental $f=\dfrac{v}{2L}$:
$$v=2Lf=2\cdot0{,}65\cdot880=1144\ \text{m/s}$$
Al acortar la cuerda a la mitad, con la misma velocidad, la frecuencia se duplica: $f'=\dfrac{v}{2(L/2)}=1760$ Hz.
3c) Péndulo.
$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}40}{9{,}8}}\approx1{,}27\ \text{s}$$
Con $L'=0{,}43$ m: $\omega'=\sqrt{\dfrac{g}{L'}}=\sqrt{\dfrac{9{,}8}{0{,}43}}\approx4{,}77$ rad/s.
3d) Altavoz. Intensidad a 200 m (propagación esférica):
$$I=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{3000}{4\pi\cdot200^2}=5{,}97\cdot10^{-3}\ \text{W/m}^2$$
$$\beta=10\log\frac{I}{I_0}=10\log\frac{5{,}97\cdot10^{-3}}{10^{-12}}\approx97{,}8\ \text{dB}$$
Con tres altavoces iguales, la intensidad se triplica: $\beta'=\beta+10\log3\approx97{,}8+4{,}8=102{,}5$ dB.
Bloque 4 · Física moderna
4a) Ley de desintegración. El número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo es proporcional a los que hay: $\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N$. Separando variables e integrando entre $0$ y $t$:
$$\int_{N_0}^{N}\frac{dN}{N}=-\lambda\int_0^t dt\;\Rightarrow\;N=N_0e^{-\lambda t}$$
La actividad es el número de desintegraciones por segundo: $A=\left|\dfrac{dN}{dt}\right|=\lambda N$ (unidad: becquerel, Bq).
4b) Datos: $A=0{,}10\,A_0$ a $t=253$ min. Como $A=A_0e^{-\lambda t}$:
$$\lambda=\frac{\ln10}{t}=\frac{2{,}303}{253\ \text{min}}=9{,}10\cdot10^{-3}\ \text{min}^{-1}=1{,}52\cdot10^{-4}\ \text{s}^{-1}$$
$$T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}=\frac{0{,}693}{9{,}10\cdot10^{-3}}\approx76{,}2\ \text{min}$$
4c) $A_0=200$ MBq. La constante $\lambda$ es propia del material: $\lambda=1{,}52\cdot10^{-4}$ s$^{-1}$. Núcleos iniciales:
$$N_0=\frac{A_0}{\lambda}=\frac{2\cdot10^{8}}{1{,}52\cdot10^{-4}}\approx1{,}32\cdot10^{12}\ \text{núcleos}$$