Resolución paso a paso

Matemáticas

País Vasco · 2023 · Convocatoria ordinaria

Examen del País Vasco (EAU 2023, ordinaria): cinco partes de 2,5 puntos, se responden cuatro y en cada una se elige un ejercicio. Aquí se resuelven todos.

Primera parte · Ejercicio A1 (sistema con parámetro $\alpha$)

$$\begin{cases}x+2y+3z=1\\x+\alpha y+z=1\\2x+3y+4z=2\end{cases}$$

Discusión.

$$|A|=\begin{vmatrix}1&2&3\\1&\alpha&1\\2&3&4\end{vmatrix}=(4\alpha-3)-2(4-2)+3(3-2\alpha)=2-2\alpha=2(1-\alpha)$$

• $\alpha\neq1$: $|A|\neq0$: compatible determinado.
• $\alpha=1$: la fila 3 es la suma de las filas 1 y 2 (también el término independiente: $1+1=2$): rango$(A)$ = rango$(A^*)=2<3$: compatible indeterminado.

Resolución para $\alpha=1$. $x+2y+3z=1$ y $x+y+z=1$. Restando: $y+2z=0\Rightarrow y=-2z$, y $x=1-y-z=1+z$:

$$(x,y,z)=(1+\lambda,\,-2\lambda,\,\lambda),\qquad\lambda\in\mathbb{R}$$

Resolución para $\alpha=2$. $x+2y+3z=1$ y $x+2y+z=1$: restando, $2z=0\Rightarrow z=0$. Entonces $x+2y=1$ y $2x+3y=2$, de donde $-y=0$, es decir $y=0$ y $x=1$:

$$(x,y,z)=(1,0,0)$$

Primera parte · Ejercicio B1 (rango con parámetro)

$A=\begin{pmatrix}\alpha&0&\alpha&0\\3&\alpha&0&\alpha\\0&1&-1&2\end{pmatrix}$ (matriz $3\times4$, rango $\leq3$). Menores de orden 3:

• Columnas 1, 2, 4: $\begin{vmatrix}\alpha&0&0\\3&\alpha&\alpha\\0&1&2\end{vmatrix}=\alpha(2\alpha-\alpha)=\alpha^2$.

• Columnas 1, 2, 3: $\alpha(3-\alpha)$. Columnas 1, 3, 4: $\alpha(\alpha-6)$. Columnas 2, 3, 4: $-\alpha^2$.

• $\alpha\neq0$: el menor $\alpha^2\neq0$: rango 3.

• $\alpha=0$: todos los menores de orden 3 se anulan. $A=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\3&0&0&0\\0&1&-1&2\end{pmatrix}$ tiene dos filas independientes: rango 2.

Segunda parte · Ejercicio A2 (recta y perpendicular)

$r:\ \begin{cases}x+y-z=1\\2x+2y+z=2\end{cases}$.

Segunda parte · Ejercicio B2

Recta $r:\ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$, es decir, $(1+t,\,1-t,\,1+2t)$; planos $\pi_1:\ x+y+z=1$ y $\pi_2:\ x+y-z=1$.

Tercera parte · Ejercicio A3 ($f(x)=x^4-2x^3+x^2$)

$$f'(x)=4x^3-6x^2+2x=2x(2x^2-3x+1)=2x\,(2x-1)(x-1)$$

Se anula en $x=0$, $x=\tfrac12$ y $x=1$.

Extremos relativos: mínimos en $x=0$ y $x=1$ (con $f=0$) y un máximo en $x=\tfrac12$, con $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac1{16}$ (pues $f=x^2(x-1)^2$).

Tangente en $x=2$. $f(2)=16-16+4=4$ y $f'(2)=2\cdot2\cdot3\cdot1=12$:

$$y-4=12(x-2)\ \Rightarrow\ \boxed{y=12x-20}$$

Tercera parte · Ejercicio B3 ($f(x)=Ax^2+Bx+C$)

$f'(x)=2Ax+B$.

• Creciente en $(-\infty,1)$ y decreciente en $(1,\infty)$: máximo en $x=1$, luego $f'(1)=2A+B=0$ (y $A<0$).
• La tangente en $x=2$ es perpendicular a $y=x+2$ (pendiente 1), luego su pendiente es $-1$: $f'(2)=4A+B=-1$.
• $f(0)=C=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$.

Restando: $2A=-1\Rightarrow A=-\tfrac12$, y $B=1$:

$$\boxed{A=-\tfrac12,\quad B=1,\quad C=1}\qquad f(x)=-\tfrac12x^2+x+1$$

(Comprobación: $f'(x)=-x+1>0$ si $x<1$ y $<0$ si $x>1$ ✓.)

Cuarta parte · Ejercicio A4 (recinto entre tres curvas)

Dibujo y cortes. El recinto está limitado inferiormente por $y=\tfrac{x^2}{4}$ y superiormente por $y=4$ y por $y=\tfrac{4}{x^2}$. Puntos de corte: $y=4$ con $y=\tfrac4{x^2}$ en $x=1$; $\tfrac{x^2}{4}=\tfrac{4}{x^2}$ en $x^4=16\Rightarrow x=2$ (punto $(2,1)$). El borde superior es $y=4$ de $x=0$ a $x=1$ y $y=\tfrac4{x^2}$ de $x=1$ a $x=2$.

Área (regla de Barrow):

$$\int_0^1\left(4-\frac{x^2}4\right)dx+\int_1^2\left(\frac4{x^2}-\frac{x^2}4\right)dx=\left[4x-\frac{x^3}{12}\right]_0^1+\left[-\frac4x-\frac{x^3}{12}\right]_1^2$$

$$=\frac{47}{12}+\left(-2-\frac23\right)-\left(-4-\frac1{12}\right)=\frac{47}{12}+\frac{17}{12}=\frac{64}{12}=\boxed{\frac{16}3\ \text{u}^2}$$

Cuarta parte · Ejercicio B4 (integrales)

1.ª $\displaystyle\int\frac{x^2+4}{(x+2)^2}\,dx$. Como $x^2+4=(x+2)^2-4x$ y $4x=4(x+2)-8$:

$$\frac{x^2+4}{(x+2)^2}=1-\frac{4}{x+2}+\frac{8}{(x+2)^2}\ \Rightarrow\ \int=x-4\ln|x+2|-\frac{8}{x+2}+C$$

2.ª $\displaystyle\int(x+2)\sin3x\,dx$, por partes con $u=x+2$, $dv=\sin3x\,dx$ ($v=-\tfrac13\cos3x$):

$$=-\frac{(x+2)\cos3x}{3}+\frac13\int\cos3x\,dx=-\frac{(x+2)\cos3x}{3}+\frac{\sin3x}{9}+C$$

Quinta parte · Ejercicio A5 (turnos de producción)

Tres turnos diurnos (defectuosas $2\,\%$) y uno nocturno ($10\,\%$), todos con la misma producción: $P(\text{día})=\tfrac34$ y $P(\text{noche})=\tfrac14$.

Quinta parte · Ejercicio B5 (niveles en una prueba)

Notas $X\sim N(65,\,18)$. Los niveles son: inicial (20 % inferior), medio (65 % central) y avanzado (15 % superior). Los umbrales son:

• Percentil 20: $z=-0{,}84\Rightarrow65-0{,}84\cdot18\approx49{,}9$ puntos.
• Percentil 85: $z=1{,}04\Rightarrow65+1{,}04\cdot18\approx83{,}7$ puntos.