Resolución paso a paso
Matemáticas
Prueba de acceso de la Comunitat Valenciana (Matemáticas II, convocatoria de septiembre de 2020). Hay seis problemas de 10 puntos y se eligen tres; aquí se resuelven los seis.
Problema 1 · Sistema con parámetro $a$
El sistema es $x+ay+2z=3,\; x-3y+az=-2,\; x+y+2z=a$, con matriz de coeficientes $A=\begin{pmatrix}1&a&2\\1&-3&a\\1&1&2\end{pmatrix}$.
a) Valores de $a$ con sistema compatible (4 puntos).
Determinante:
$$|A|=(-6-a)-a(2-a)+2(1+3)=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)$$
- Si $a\neq1$ y $a\neq2$: $|A|\neq0$, rangos iguales a 3, compatible determinado.
- Si $a=1$: la primera y la tercera ecuación tienen los mismos coeficientes $(1,1,2)$ pero términos independientes distintos ($3$ y $1$): incompatible.
- Si $a=2$: restando la tercera a la primera, $y=1$; restando la tercera a la segunda, $-4y=-4$, es decir $y=1$ de nuevo, así que son compatibles. El rango es 2 (las columnas 1 y 3 son iguales): compatible indeterminado.
El sistema es compatible exactamente para $a\neq1$.
b) Solución para $a=0$ (3 puntos).
Queda $x+2z=3$, $x-3y=-2$, $x+y+2z=0$. De la 1.ª y la 3.ª: $3+y=0$, luego $y=-3$. De la 2.ª: $x=-2+3y=-11$, y de la 1.ª: $z=\tfrac{3-x}2=7$:
$$(x,y,z)=(-11,\,-3,\,7)$$
c) Soluciones cuando es compatible indeterminado, $a=2$ (3 puntos).
Se tiene $y=1$ y $x+2z=1$ (de la tercera ecuación). Con $z=\lambda$:
$$(x,y,z)=(1-2\lambda,\;1,\;\lambda),\qquad\lambda\in\mathbb R$$
Problema 2 · Planos y rectas
Los planos son $\pi:\ x+y=1$ (normal $(1,1,0)$) y $\pi':\ x-y+z=1$ (normal $(1,-1,1)$), y el punto es $P(1,-1,0)$.
a) Recta $r$ por $P$ paralela a ambos planos (3 puntos).
Su dirección es perpendicular a las dos normales:
$$\vec d=(1,1,0)\times(1,-1,1)=(1,-1,-2)\qquad r:\ (x,y,z)=(1+\lambda,\,-1-\lambda,\,-2\lambda)$$
b) Distancia de $r$ a cada plano (3 puntos).
Como $r$ es paralela a ambos planos, todos sus puntos están a la misma distancia: basta la de $P$.
$$d(r,\pi)=\frac{|1-1-1|}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2\qquad d(r,\pi')=\frac{|1+1+0-1|}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3$$
c) Recta por $P$ que corta perpendicularmente a la intersección de los planos (4 puntos).
La recta $L=\pi\cap\pi'$ es $(t,\,1-t,\,2-2t)$, con dirección $(1,-1,-2)$. Se busca el punto $Q$ de $L$ tal que $\overrightarrow{PQ}\perp$ dirección de $L$:
$$\overrightarrow{PQ}=(t-1,\ 2-t,\ 2-2t),\qquad(t-1)-(2-t)-2(2-2t)=6t-7=0\ \Rightarrow\ t=\tfrac76$$
Entonces $Q=\left(\tfrac76,-\tfrac16,-\tfrac13\right)$ y $\overrightarrow{PQ}=\left(\tfrac16,\tfrac56,-\tfrac13\right)\parallel(1,5,-2)$. La recta pedida es
$$(x,y,z)=(1,-1,0)+\mu\,(1,5,-2)$$
Problema 3 · Estudio de $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$
a) Dominio y asíntotas (3 puntos).
Hace falta $x^2-1>0$: el dominio es $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$. Asíntotas:
- Verticales: $x=1$ (con $f\to+\infty$ por la derecha) y $x=-1$ (con $f\to-\infty$ por la izquierda).
- Horizontales: $\lim_{x\to+\infty}f=1$ y $\lim_{x\to-\infty}f=-1$: son $y=1$ (a la derecha) e $y=-1$ (a la izquierda). No hay oblicuas.
b) Crecimiento y gráfica (3 + 1 puntos).
Se deriva:
$$f'(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}-\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=\frac{-1}{(x^2-1)^{3/2}}<0$$
Como $f'<0$ en todo el dominio, la función decrece en $(-\infty,-1)$ y en $(1,+\infty)$ y no tiene extremos. Gráfica: es impar ($f(-x)=-f(x)$). A la derecha, baja desde $+\infty$ (junto a $x=1$) acercándose a $y=1$; a la izquierda, baja desde $y=-1$ (cuando $x\to-\infty$) hasta $-\infty$ (junto a $x=-1$).
c) $\displaystyle\int_2^3f(x)\,dx$ (3 puntos).
Una primitiva es $\sqrt{x^2-1}$ (su derivada es $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$):
$$\int_2^3\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx=\Big[\sqrt{x^2-1}\Big]_2^3=\sqrt8-\sqrt3=2\sqrt2-\sqrt3\approx1{,}096$$
Problema 4 · Una matriz, su inversa y un sistema
La matriz es $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}$.
a) Tiene inversa y cálculo (3 puntos).
$|A|=1\cdot(1\cdot1-0)-2\cdot(0-0)=1\neq0$, así que es invertible. Usando la relación que da el enunciado, $A^3-3A^2+3A-I=0$, se saca factor común: $A\,(A^2-3A+3I)=I$, luego $A^{-1}=A^2-3A+3I$. Con $A^2=\begin{pmatrix}1&4&0\\0&1&0\\0&4&1\end{pmatrix}$:
$$A^{-1}=A^2-3A+3I=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{pmatrix}$$
(Se comprueba que $AA^{-1}=I$.)
b) Constantes $a$ y $b$ con $A^{-1}=A^2+aA+bI$ (3 puntos).
Por lo anterior, $A^{-1}=A^2-3A+3I$: $a=-3$ y $b=3$.
c) Valor de $\lambda$ con infinitas soluciones y soluciones (2 + 2 puntos).
El sistema homogéneo $(A-\lambda I)\vec x=\vec0$ tiene infinitas soluciones si y solo si $|A-\lambda I|=0$:
$$|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\0&1-\lambda&0\\0&2&1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^3=0\iff\lambda=1$$
Para $\lambda=1$: $A-I=\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}$, que da solo la ecuación $2y=0$. Las soluciones son
$$(x,y,z)=(\alpha,\,0,\,\beta),\qquad\alpha,\beta\in\mathbb R$$
Problema 5 · Rectas y plano con parámetro
La recta $r$ es $(1,\;2+\lambda,\;2\lambda)$ (punto $(1,2,0)$ y dirección $(0,1,2)$), la recta $s$ es $\dfrac{x+1}2=\dfrac y{-1}=\dfrac{z+2}1$ (punto $(-1,0,-2)$ y dirección $(2,-1,1)$) y el plano $\pi:\ 3x+ay-z+1=0$ (normal $(3,a,-1)$).
a) ¿Hay algún $a$ con $r\subset\pi$? (4 puntos).
Debe cumplirse que la dirección de $r$ sea perpendicular a la normal y que un punto de $r$ esté en $\pi$:
- $(0,1,2)\cdot(3,a,-1)=a-2=0\Rightarrow a=2$.
- $(1,2,0)\in\pi$: $3+2a+1=0\Rightarrow a=-2$.
Las dos condiciones se contradicen, así que no existe ningún valor de $a$.
b) Distancia entre $r$ y $s$ (3 puntos).
Con $\overrightarrow{P_rP_s}=(-2,-2,-2)$ y $\vec u\times\vec v=(0,1,2)\times(2,-1,1)=(3,4,-2)$, de módulo $\sqrt{29}$:
$$d(r,s)=\frac{\left|(-2,-2,-2)\cdot(3,4,-2)\right|}{\sqrt{29}}=\frac{|-6-8+4|}{\sqrt{29}}=\frac{10}{\sqrt{29}}\approx1{,}86$$
c) Coseno del ángulo entre $r$ y $t$ (3 puntos).
La dirección de $t:\ 2x-y=0,\ y-z=2$ es el producto de las normales: $(2,-1,0)\times(0,1,-1)=(1,2,2)$. Entonces
$$\cos\theta=\frac{|(0,1,2)\cdot(1,2,2)|}{\sqrt5\cdot3}=\frac{6}{3\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5\approx0{,}894$$
Problema 6 · Rectángulo inscrito en un triángulo
El triángulo tiene vértices $A(0,12)$, $B(-5,0)$ y $C(5,0)$. La recta $AC$ es $y=12-\tfrac{12}5x$.
a) Área del rectángulo (4 puntos).
Tiene base $2x$ y altura la ordenada de $AC$ en $x$:
$$f(x)=2x\left(12-\frac{12}5x\right)=24x-\frac{24}5x^2,\qquad0\le x\le5$$
b) Valor de $x$ que da el área máxima y dimensiones (3 puntos).
$f'(x)=24-\tfrac{48}5x=0\Rightarrow x=\tfrac52$, y es máximo porque $f''=-\tfrac{48}5<0$. Dimensiones: base $2x=5$ y altura $12-\tfrac{12}{5}\cdot\tfrac52=6$; área $f\!\left(\tfrac52\right)=30$.
c) Proporción respecto al triángulo (3 puntos).
El área del triángulo es $\tfrac12\cdot10\cdot12=60$, así que la proporción es $\dfrac{30}{60}=\dfrac12$: el rectángulo ocupa la mitad.