Resolución paso a paso
Matemáticas · Modelo 2
La pregunta 1 es obligatoria; en las preguntas 2, 3 y 4 se elige entre el apartado 1 y el 2. Se resuelven todos los apartados.
Pregunta 1 · Club de lectura
Totales de la tabla (120 personas): por edad, $<25$: 31; $25$–$60$: 52; $>60$: 37. Por tipo de obra: novela 47, poesía 35, teatro 28, ensayos 10.
1.1) Que el tipo preferido no sea el ensayo.
$$P(\overline{\text{ensayo}})=1-\frac{10}{120}=\frac{110}{120}=\frac{11}{12}\approx0{,}917$$
1.2) Edad $\geq25$ sabiendo que NO prefiere poesía.
Los que no prefieren poesía son $120-35=85$. De ellos, con $25$ años o más: personas de 25 años o más $=52+37=89$, de las cuales prefieren poesía $17+12=29$, luego $89-29=60$.
$$P(\geq25\mid\overline{\text{poesía}})=\frac{60}{85}=\frac{12}{17}\approx0{,}706$$
1.3) Diez miembros de entre 25 y 60 años; como mucho 3 prefieren teatro o ensayos.
En el grupo de 25–60 años (52 personas) prefieren teatro o ensayos $10+3=13$, es decir, con probabilidad $p=\tfrac{13}{52}=\tfrac14$. El número $X$ de ellos entre los 10 sigue una $\text{Bin}(10,\tfrac14)$:
$$P(X\leq3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}\left(\tfrac14\right)^k\left(\tfrac34\right)^{10-k}\approx0{,}0563+0{,}1877+0{,}2816+0{,}2503=\mathbf{0{,}776}$$
(En la tabla binomial: $F(3)$ para $n=10$, $p=0{,}25$, $\approx0{,}7759$.)
Pregunta 2 · Opción 2.1
$A=\begin{pmatrix}\tfrac12&1\\0&-\tfrac12\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$.
2.1.1) $2AX=BX+I$.
Se agrupa: $(2A-B)X=I$. Entonces
$$2A-B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&-2\end{pmatrix},\qquad\det=2+1=3\neq0$$
Existe la inversa, y $X=(2A-B)^{-1}$:
$$X=\frac13\begin{pmatrix}-2&-1\\1&-1\end{pmatrix}$$
(Comprobación: $\begin{pmatrix}-1&1\\-1&-2\end{pmatrix}\tfrac13\begin{pmatrix}-2&-1\\1&-1\end{pmatrix}=\tfrac13\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=I$ ✓.)
2.1.2) $4A^2+\alpha A-I=0$.
Se calcula $A^2=\begin{pmatrix}\tfrac14&\tfrac12-\tfrac12\\0&\tfrac14\end{pmatrix}=\tfrac14I$. Entonces $4A^2=I$ y la ecuación queda $I+\alpha A-I=\alpha A=0$. Como $A\neq0$, el único valor es $\alpha=0$.
2.1.3) $A^{12}$.
Como $A^2=\tfrac14I$:
$$A^{12}=(A^2)^6=\left(\tfrac14\right)^6I=\frac1{4096}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
Pregunta 2 · Opción 2.2 (sistema con parámetro $a$)
$$\begin{cases}3x+y+2z=1-a\\(1+a)x+2y+z=a\\ax-y+z=1-a\end{cases}$$
2.2.1) Discusión.
$$|A|=\begin{vmatrix}3&1&2\\1+a&2&1\\a&-1&1\end{vmatrix}=3\cdot3-1\cdot1+2\,(-1-3a)=6-6a=6(1-a)$$
- $a\neq1$: rango 3 = nº de incógnitas: compatible determinado.
- $a=1$: $A=\begin{pmatrix}3&1&2\\2&2&1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ tiene rango 2 (el menor $\begin{vmatrix}3&1\\2&2\end{vmatrix}=4\neq0$). En la ampliada, con términos independientes $(0,1,0)$, el menor de las columnas 1, 2 y 4 vale $\begin{vmatrix}3&1&0\\2&2&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=4\neq0$, luego rango$(A^*)=3$: incompatible.
2.2.2) Solución para $a\neq1$ (regla de Cramer).
Con $|A|=6(1-a)$:
$$D_x=\begin{vmatrix}1-a&1&2\\a&2&1\\1-a&-1&1\end{vmatrix}=-3a,\quad D_y=-4a^2+7a-2,\quad D_z=5a^2-5a+4$$
$$x=\frac{a}{2(a-1)},\qquad y=\frac{4a^2-7a+2}{6(a-1)},\qquad z=-\frac{5a^2-5a+4}{6(a-1)}$$
Comprobación con $a=0$: $(x,y,z)=\left(0,-\tfrac13,\tfrac23\right)$, que cumple las tres ecuaciones; y con $a=2$: $\left(1,\tfrac23,-\tfrac73\right)$ ✓.
Pregunta 3 · Opción 3.1
$\pi:\ 2x-z=1$ (normal $\vec n=(2,0,-1)$) y $r:\ \begin{cases}2x-y=0\\z=y\end{cases}$.
3.1.1) Plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$.
Se parametriza $r$ con $y=t$: $x=\tfrac t2$, $z=t$. Pasa por el origen $O(0,0,0)$ con dirección $\vec d=(1,2,2)$ (para $t=2$). El plano buscado contiene a $\vec d$ y es perpendicular a $\pi$, luego contiene también a $\vec n$. Su normal es
$$\vec d\times\vec n=(1,2,2)\times(2,0,-1)=(-2,\,5,\,-4)$$
y como pasa por $O$: $-2x+5y-4z=0$, es decir
$$\boxed{2x-5y+4z=0}$$
Existe (y es único) porque $\vec d$ y $\vec n$ no son paralelos. Comprobación: $(1,2,2)$ cumple $2-10+8=0$ ✓.
3.1.2) Planos paralelos a $\pi$ a distancia 2 de $P(0,1,2)$.
Son de la forma $2x-z+k=0$:
$$\frac{|2\cdot0-2+k|}{\sqrt{2^2+1}}=2\Rightarrow|k-2|=2\sqrt5\Rightarrow k=2\pm2\sqrt5$$
$$\boxed{2x-z+2+2\sqrt5=0\quad\text{y}\quad2x-z+2-2\sqrt5=0}$$
Pregunta 3 · Opción 3.2
Plano $\pi:\ 2x+3y-z=0$; $A(0,0,0)$, $B(10,0,-20)$, $C(0,15,-30)$, $D(1,2,-1)$.
3.2.1) ¿Está el triángulo $ABC$ en $\pi$?
$A\in\pi$ ($0=0$). Pero $B$: $2\cdot10+0+20=40\neq0$ y $C$: $0+45+30=75\neq0$. No, el triángulo no pertenece al plano $\pi$ (solo el vértice $A$).
3.2.2) Distancia de $D$ a $\pi$.
$$d(D,\pi)=\frac{|2\cdot1+3\cdot2-(-1)|}{\sqrt{4+9+1}}=\frac{9}{\sqrt{14}}\approx2{,}41$$
3.2.3) Proyección de $D$ sobre el plano $ABC$.
Se halla ese plano: $\overrightarrow{AB}=(10,0,-20)$, $\overrightarrow{AC}=(0,15,-30)$:
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(300,300,150)\parallel(2,2,1)\ \Rightarrow\ \text{plano }ABC:\ 2x+2y+z=0$$
(Comprobación: $B$: $20-20=0$ ✓; $C$: $30-30=0$ ✓.) El valor en $D$ es $2+4-1=5$ y $|\vec n|^2=9$, así que la proyección es
$$D'=D-\frac59(2,2,1)=\left(-\frac19,\ \frac89,\ -\frac{14}{9}\right)$$
Comprobación: $2\left(-\tfrac19\right)+2\cdot\tfrac89-\tfrac{14}9=0$ ✓.
Pregunta 4 · Opción 4.1 ($f(x)=\dfrac{x}{9-x^2}$)
4.1.1) Dominio, asíntotas y monotonía.
- Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$.
- Asíntotas verticales $x=3$ y $x=-3$: $\lim_{x\to3^-}f=+\infty$, $\lim_{x\to3^+}f=-\infty$, $\lim_{x\to-3^-}f=+\infty$, $\lim_{x\to-3^+}f=-\infty$. Horizontal $y=0$ (grado del numerador menor que el del denominador).
- Monotonía: $f'(x)=\dfrac{(9-x^2)+2x^2}{(9-x^2)^2}=\dfrac{9+x^2}{(9-x^2)^2}>0$ siempre: $f$ es creciente en cada intervalo de su dominio ($(-\infty,-3)$, $(-3,3)$ y $(3,+\infty)$), y no tiene extremos relativos.
4.1.2) Curva.
Es impar, pasa por el origen; entre $-3$ y $3$ sube desde $-\infty$ hasta $+\infty$, y fuera de ese intervalo se acerca a $y=0$ (por encima en $-\infty$ y por debajo en $+\infty$), con las dos asíntotas verticales.
4.1.3) Primitivas.
$$\int\frac{x}{9-x^2}\,dx=-\frac12\int\frac{-2x}{9-x^2}\,dx=-\frac12\ln|9-x^2|+C$$
4.1.4) Área entre la curva, $x=-1$, $x=1$ y el eje $X$.
Como $f$ es impar (negativa en $(-1,0)$ y positiva en $(0,1)$), el área es el doble de la de $[0,1]$:
$$\text{Área}=2\int_0^1\frac{x}{9-x^2}\,dx=2\left[-\tfrac12\ln(9-x^2)\right]_0^1=-(\ln8-\ln9)=\ln\frac98\approx0{,}118\ \text{u}^2$$
Pregunta 4 · Opción 4.2 (bote cilíndrico de 33 cm$^3$)
4.2.1) Área total.
Con radio $r$ y altura $h$ (dos tapas más la superficie lateral):
$$A=2\pi r^2+2\pi rh$$
4.2.2) Dimensiones que minimizan el área.
Restricción: $\pi r^2h=33\Rightarrow h=\dfrac{33}{\pi r^2}$. Entonces $A(r)=2\pi r^2+\dfrac{66}{r}$.
$$A'(r)=4\pi r-\frac{66}{r^2}=0\ \Rightarrow\ r^3=\frac{33}{2\pi}\ \Rightarrow\ r=\sqrt[3]{\frac{33}{2\pi}}\approx1{,}74\ \text{cm}$$
$A''(r)=4\pi+\dfrac{132}{r^3}>0$, luego es un mínimo. Altura: $h=\dfrac{33}{\pi r^2}=2r\approx3{,}48$ cm (el bote óptimo tiene la altura igual al diámetro).
4.2.3) Área mínima.
$$A=2\pi r^2+\frac{66}{r}\approx2\pi(3{,}02)+\frac{66}{1{,}738}\approx18{,}99+37{,}96\approx56{,}95\ \text{cm}^2$$