Matemáticas

$$v_1=Mv_0=\begin{pmatrix}100\\100+124\\100+234\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\224\\334\end{pmatrix},\qquad v_2=Mv_1=\begin{pmatrix}100\\100+224\\100+334\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\324\\434\end{pmatrix}$$

Hay 100 de A, 324 de B y 434 de C.

Es inducción: para $k=0$, $v_0=M^0v_0=I\,v_0$. Si suponemos $v_k=M^kv_0$, entonces $v_{k+1}=Mv_k=M\,M^kv_0=M^{k+1}v_0$. Así se cumple para todo $k$.

$$N=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$$

Se comprueba que $N^2=0$ (la única columna no nula de $N$ se multiplica por una primera fila de ceros). Como $I$ y $N$ conmutan, el binomio de Newton se corta en dos términos:

$$M^k=(I+N)^k=I+kN=\begin{pmatrix}1&0&0\\k&1&0\\k&0&1\end{pmatrix}$$

Evolución: $a_k=a_0$ (la especie A se mantiene constante), $b_k=ka_0+b_0$ y $c_k=ka_0+c_0$. Como $a_0>0$, las especies B y C crecen sin límite (linealmente) con el tiempo.

$$f(x)=\int\frac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\,dx=\int 2e^{u}\,du=2e^{\sqrt x}+C$$

Con $f(1)=2e+C=2e-2$ obtenemos $C=-2$:

$$f(x)=2e^{\sqrt x}-2$$

Como $f$ es continua en $0$, $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=2e^{0}-2=0$.

$f(x)\ge0$ para $x\ge0$. $f$ es creciente y continua en $[0,\infty)$ con $f(0)=0$; por tanto $f(x)\ge f(0)=0$.

Dos planos no se cortan solo si son paralelos, es decir, si sus vectores normales son proporcionales. Aquí $\vec n=(1,-2,4)$ y $\vec n_d=(2,-3,6)$; como $\tfrac21\neq\tfrac{-3}{-2}$, no son proporcionales para ningún $d$. Por tanto no existe ningún $d$: los planos siempre se cortan, en una recta.

$$\begin{cases}x-2y+4z=-1\\2x-3y+6z=-2\end{cases}$$

Restando a la 2.ª ecuación el doble de la 1.ª: $(2x-3y+6z)-2(x-2y+4z)=-2+2$, es decir $y-2z=0\Rightarrow y=2z$. Sustituyendo en la 1.ª: $x-4z+4z=-1\Rightarrow x=-1$. Tomando $z=t$:

$$\text{Puntos de corte: }(x,y,z)=(-1,\,2t,\,t),\quad t\in\mathbb R$$

es la recta que pasa por $(-1,0,0)$ con dirección $(0,2,1)$.

$$P(k=4)=\left(\tfrac15\right)^4=\frac{1}{625}=0{,}0016$$

$$P(k=3)=\binom43\left(\tfrac15\right)^3\tfrac45=\tfrac{16}{625},\qquad P(k=4)=\tfrac1{625}\;\Rightarrow\;P(k\le2)=1-\tfrac{17}{625}=\frac{608}{625}\approx0{,}973$$

Entre las 288 intervenciones efectivas: $P(T_1)=\tfrac{150}{288}\approx0{,}521$ y $P(T_2)=\tfrac{138}{288}\approx0{,}479$. Es más probable que se usara la técnica 1.

• Lesión leve: $T_1=\tfrac{120}{136}\approx0{,}882$; $T_2=\tfrac{36}{40}=0{,}900$ → conviene la técnica 2.
• Lesión grave: $T_1=\tfrac{30}{44}\approx0{,}682$; $T_2=\tfrac{102}{140}\approx0{,}729$ → conviene también la técnica 2.

Globalmente la técnica 1 parece mejor ($\tfrac{150}{180}\approx0{,}833$ frente a $\tfrac{138}{180}\approx0{,}767$), pero es un efecto de la composición: la técnica 1 se aplicó sobre todo a lesiones leves (136 de 180), que son más fáciles de curar (paradoja de Simpson). Como la técnica 2 es mejor en cada tipo de lesión, aplicar siempre la técnica 1 cuando se desconoce la gravedad no es lo más adecuado.