Resolución paso a paso
Matemáticas
Se resuelven P1, P2, P3 y las dos opciones de P4 y P5. En P5.1 el límite no se puede leer con seguridad en el PDF (la fracción aparece desordenada), así que de P5.1 se resuelve la integral.
P1 · Test de intolerancia al gluten
Sucesos: $I$ = «es intolerante» y $+$ = «el test da positivo». Datos: $P(I)=0{,}014$, sensibilidad $P(+\mid I)=0{,}97$ y especificidad $P(-\mid\bar I)=0{,}96$, luego $P(+\mid\bar I)=0{,}04$.
(i) $P(+)$. Probabilidad total:
$$P(+)=P(I)P(+\mid I)+P(\bar I)P(+\mid\bar I)=0{,}014\cdot0{,}97+0{,}986\cdot0{,}04=0{,}01358+0{,}03944=0{,}05302$$
(ii) $P(-)$. Es el suceso contrario: $P(-)=1-0{,}05302=0{,}94698$.
(iii) $P(I\mid +)$. Teorema de Bayes:
$$P(I\mid+)=\frac{P(I)P(+\mid I)}{P(+)}=\frac{0{,}01358}{0{,}05302}\approx0{,}256$$
Solo un 25,6 % de los positivos son realmente intolerantes, porque la enfermedad es poco frecuente.
P2 · La semicircunferencia $(x-1)^2+y^2=1$
(i) Expresión de $y$. Con $y>0$: $y=f(x)=\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{2x-x^2}$, definida en $[0,2]$. Su derivada es
$$f'(x)=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}},\qquad x\in(0,2)$$
Existencia de $c$ con $f'(c)=-1$. Se aplica el teorema de Bolzano a la función $g(x)=f'(x)+1$, que es continua en $(0,2)$:
- $g\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{0{,}5}{\sqrt{0{,}75}}+1\approx1{,}58>0$
- $g(1{,}9)=\dfrac{-0{,}9}{\sqrt{0{,}19}}+1\approx-1{,}06<0$
Cambia de signo en $[0{,}5;\,1{,}9]\subset(0,2)$, luego existe $c$ con $g(c)=0$, es decir $f'(c)=-1$. Se puede calcular: $\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}=-1\Rightarrow x-1=\sqrt{2x-x^2}\Rightarrow 2x^2-4x+1=0\Rightarrow c=1+\tfrac{\sqrt2}{2}\approx1{,}71$.
(ii) Área. La curva es la semicircunferencia superior de radio $1$ (centro $(1,0)$) y el eje $OX$ la cierra:
$$A=\frac{\pi\cdot1^2}{2}=\frac{\pi}{2}\ \text{u}^2$$
P3 · Recta que pasa por $A(2,4,-2)$ y corta a $s$ y $r$
$s$: punto $P_s(2,-1,0)$, dirección $\vec d_s=(-1,2,1)$. $r$: punto $P_r(-1,-2,1)$, dirección $\vec d_r=(1,0,3)$.
Idea. La recta buscada es la intersección del plano que contiene a $A$ y a $s$ con el plano que contiene a $A$ y a $r$.
Plano $\pi_1$ (por $A$ y $s$). Vectores: $\vec d_s=(-1,2,1)$ y $\overrightarrow{P_sA}=(0,5,-2)$. Normal: $\vec d_s\times\overrightarrow{P_sA}=(-9,-2,-5)\propto(9,2,5)$.
$$\pi_1:\ 9x+2y+5z=16$$
Plano $\pi_2$ (por $A$ y $r$). Vectores: $\vec d_r=(1,0,3)$ y $\overrightarrow{P_rA}=(3,6,-3)$. Normal: $\vec d_r\times\overrightarrow{P_rA}=(-18,12,6)\propto(-3,2,1)$.
$$\pi_2:\ -3x+2y+z=0$$
Dirección de la recta: $(9,2,5)\times(-3,2,1)=(-8,-24,24)\propto(-1,-3,3)$.
$$t:\ \frac{x-2}{-1}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z+2}{3}$$
Comprobación. Con $r$ se corta en $(0,-2,4)$ ($\lambda=1$) y con $s$ en $(1,1,1)$.
P4 · Opción 4.1: sistema con parámetro $a$
Matriz de coeficientes:
$$M=\begin{pmatrix}a^2-4&a+2&2\\4-a^2&0&1\\a^2-4&a+2&a\end{pmatrix}$$
Determinante. Con $p=a^2-4$ y $q=a+2$, el determinante es $pq(a-2)=(a-2)^2(a+2)^2$. Se anula para $a=2$ y $a=-2$.
Teorema de Rouché–Frobenius (compara rangos de la matriz y de la ampliada con el número de incógnitas):
- $a\neq\pm2$: $\operatorname{rg}M=3$ → sistema compatible determinado (solución única).
- $a=2$: las ecuaciones quedan $4y+2z=4$, $z=2$, $4y+2z=-4$. De las dos primeras, $y=0$; la tercera exigiría $y=-2$. Es incompatible.
- $a=-2$: las ecuaciones quedan $2z=4$, $z=2$, $-2z=-4$; las tres dicen lo mismo. Rango $1$ menor que $3$ incógnitas: compatible indeterminado con dos parámetros.
Solución para $a=-2$: $z=2$, y $x,y$ libres: $(x,y,z)=(\lambda,\mu,2)$ con $\lambda,\mu\in\mathbb R$.
P4 · Opción 4.2 (alternativa): $|A\cdot B^{-1}|$
Se usa $|A\cdot B^{-1}|=\dfrac{|A|}{|B|}$.
$|A|$. Restando la fila 1 a las filas 2 y 3 queda $(0,t-2,-t)$ y $(0,0,2)$:
$$|A|=(t+1)\begin{vmatrix}t-2&-t\\0&2\end{vmatrix}=2(t+1)(t-2)$$
$|B|$. Restando la fila 1 a la fila 3 queda $(0,t,1)$:
$$|B|=t\begin{vmatrix}t&2-t\\t&1\end{vmatrix}=t\,(t-2t+t^2)=t^2(t-1)$$
$$|A\cdot B^{-1}|=\frac{2(t+1)(t-2)}{t^2(t-1)}$$
No existe cuando $B$ no es invertible, es decir, si $|B|=0$: para $t=0$ y $t=1$.
P5 · Opción 5.1: integral
$$\int\frac{e^2\cdot e^{\tan x}}{4\cos^2x}\,dx=\frac{e^2}{4}\int e^{\tan x}\,\frac{1}{\cos^2x}\,dx$$
Con $u=\tan x$, $du=\dfrac{dx}{\cos^2x}$:
$$=\frac{e^2}{4}\int e^{u}du=\frac{e^2}{4}\,e^{\tan x}+C$$
P5 · Opción 5.2 (alternativa): $f(x)=\dfrac{3x^2+2}{x-2}$
Asíntotas.
- Vertical: $x=2$ (el denominador se anula y el numerador vale $14\neq0$).
- Horizontal: no hay (grado del numerador mayor).
- Oblicua: dividiendo, $3x^2+2=(x-2)(3x+6)+14$, luego $f(x)=3x+6+\dfrac{14}{x-2}$ y la asíntota es $y=3x+6$.
Simetrías. $f(-x)=-\dfrac{3x^2+2}{x+2}$ no coincide con $f(x)$ ni con $-f(x)$: no es par ni impar. Con $u=x-2$:
$$f(2+u)=3u+12+\frac{14}{u}\;\Rightarrow\;f(2+u)-12=3u+\frac{14}{u}\ \text{(impar en }u)$$
La gráfica es simétrica respecto al punto $(2,12)$.