Resolución paso a paso
Matemáticas
El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5); aquí se resuelven todas. El enunciado de la pregunta 8 está incompleto en el texto del PDF y lo indico allí.
Pregunta 1 · Función a trozos y área
$$f(x)=\begin{cases}5-ax^2&x\leq1\\\dfrac{6}{ax}&x>1\end{cases}\qquad a\neq0$$
a) Continuidad.
Cada trozo es continuo; en $x=1$ debe cumplirse $5-a=\dfrac6a$:
$$5a-a^2=6\ \Rightarrow\ a^2-5a+6=0\ \Rightarrow\ \boxed{a=2\ \text{ o }\ a=3}$$
b) Área igual a 6 u$^2$.
Para $a=2$ y $a=3$ se tiene $f>0$ en $[0,e]$. El área entre la gráfica, el eje $OX$ y las rectas $x=0$ y $x=e$ es
$$A(a)=\int_0^1(5-ax^2)\,dx+\int_1^e\frac{6}{ax}\,dx=5-\frac a3+\frac6a\ln e=5-\frac a3+\frac6a$$
- $a=2$: $A=5-\tfrac23+3=\tfrac{22}{3}\neq6$.
- $a=3$: $A=5-1+2=6$ ✓.
El valor buscado es $a=3$.
Pregunta 2 · Límite
$$L=\lim_{x\to1}\left[\sin\!\left(\tfrac\pi2x\right)\right]^{\frac1{(1-x)^2}}$$
La base tiende a $\sin\tfrac\pi2=1$ y el exponente a $+\infty$: forma $1^\infty$, $L=e^{\lambda}$ con
$$\lambda=\lim_{x\to1}\frac{\sin\left(\tfrac\pi2x\right)-1}{(1-x)^2}$$
Con $u=1-x\to0$: $\sin\left(\tfrac\pi2-\tfrac\pi2u\right)=\cos\left(\tfrac{\pi u}2\right)\approx1-\dfrac{\pi^2u^2}{8}$, luego $\lambda=-\dfrac{\pi^2}{8}$:
$$L=e^{-\pi^2/8}\approx0{,}291$$
Pregunta 3 · Depósito de coste mínimo
Prisma de base cuadrada de lado $x$ y altura $h$, abierto por arriba, de volumen $64$ m$^3$: $x^2h=64\Rightarrow h=\dfrac{64}{x^2}$. Coste: base $140x^2$ y cuatro laterales $70\cdot4xh$:
$$C(x)=140x^2+280x\cdot\frac{64}{x^2}=140x^2+\frac{17\,920}{x}$$
$C'(x)=280x-\dfrac{17\,920}{x^2}=0\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=4$, y $C''(x)=280+\dfrac{35\,840}{x^3}>0$: mínimo.
$$\boxed{\text{base }4\times4\ \text{m},\quad\text{altura }h=4\ \text{m}}$$
Coste mínimo: $C(4)=2240+4480=6720$ €.
Pregunta 4 · $f(x)=\dfrac{e^x}{x^3-x}$
a) Asíntotas.
El denominador es $x(x-1)(x+1)$ y el numerador $e^x>0$ no se anula.
- Verticales: en los ceros del denominador, $x=-1$, $x=0$ y $x=1$ (el límite es infinito en cada uno).
- Horizontal: si $x\to-\infty$, $e^x\to0$ más deprisa que $x^3$ crece, luego $f\to0$: $y=0$ en $-\infty$.
- En $+\infty$: $f(x)\to+\infty$ y $\dfrac{f(x)}x\to+\infty$ (crecimiento exponencial), así que no hay asíntota horizontal ni oblicua (hay una rama parabólica).
b) Tangente en $x=2$.
$f(2)=\dfrac{e^2}{6}$ y
$$f'(x)=\frac{e^x(x^3-x)-e^x(3x^2-1)}{(x^3-x)^2}=\frac{e^x(x^3-3x^2-x+1)}{(x^3-x)^2}\ \Rightarrow\ f'(2)=\frac{e^2(8-12-2+1)}{36}=-\frac{5e^2}{36}$$
$$y-\frac{e^2}{6}=-\frac{5e^2}{36}(x-2)\ \Rightarrow\ y=-\frac{5e^2}{36}x+\frac{4e^2}{9}$$
Pregunta 5 · Rango de $A=I+P$
$P=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&-k&-2k\\1&-k&0\end{pmatrix}$ y $A=I+P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1-k&-2k\\1&-k&1\end{pmatrix}$.
a)
$$|A|=\big[(1-k)-2k^2\big]-\big[1+2k\big]+\big[-k-(1-k)\big]=-2k^2-3k-1=-(2k+1)(k+1)$$
- $k\neq-1$ y $k\neq-\tfrac12$: rango 3.
- $k=-1$: $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&1&1\end{pmatrix}$ (filas 1 y 3 iguales): rango 2.
- $k=-\tfrac12$: $F_2+F_3=2F_1$: rango 2.
b) Inversa para $k=1$.
$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&-2\\1&-1&1\end{pmatrix}$ y $|A|=-6$:
$$A^{-1}=\frac1{-6}\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\-3&0&3\\-1&2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac13&\tfrac13&\tfrac13\\\tfrac12&0&-\tfrac12\\\tfrac16&-\tfrac13&\tfrac16\end{pmatrix}$$
(Comprobación: $AA^{-1}=I$.)
Pregunta 6 · Ecuación matricial $I+BX=C_1C_2$
$B=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\-1&1&-1\end{pmatrix}$, $C_1=\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\\1&0\end{pmatrix}$, $C_2=\begin{pmatrix}-1&2&0\\3&2&1\end{pmatrix}$.
a) Inversa de $B$.
$|B|=3(-2)+1\cdot0+1\cdot2=-4\neq0$: tiene inversa.
$$B^{-1}=\frac1{-4}\begin{pmatrix}-2&0&-2\\0&-2&-2\\2&-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac12&0&\tfrac12\\0&\tfrac12&\tfrac12\\-\tfrac12&\tfrac12&-1\end{pmatrix}$$
b)
$BX=C_1C_2-I\Rightarrow X=B^{-1}(C_1C_2-I)$. Se calcula
$$C_1C_2=\begin{pmatrix}2&4&1\\-6&4&-1\\-1&2&0\end{pmatrix},\qquad C_1C_2-I=\begin{pmatrix}1&4&1\\-6&3&-1\\-1&2&-1\end{pmatrix}$$
$$X=B^{-1}(C_1C_2-I)=\begin{pmatrix}0&3&0\\-\tfrac72&\tfrac52&-1\\-\tfrac52&-\tfrac52&0\end{pmatrix}$$
(Comprobación: $BX=C_1C_2-I$.)
Pregunta 7 · Sistema con parámetro $a$
$$\begin{cases}3x-y+2z=1\\x+4y+z=3\\2x-5y+az=-2\end{cases}$$
a) Discusión.
$|A|=3(4a+5)+(a-2)+2(-13)=13a-13=13(a-1)$.
- $a\neq1$: compatible determinado.
- $a=1$: rango$(A)=2$ y la fila 3 es $F_3=F_1-F_2$ también en el término independiente ($1-3=-2$): compatible indeterminado.
b) Para $a=0$.
De la tercera, $x=\dfrac{5y-2}{2}$. En la segunda: $z=\dfrac{8-13y}{2}$. En la primera: $\dfrac{15y-6}{2}-y+8-13y=1\Rightarrow-13y+10=2\Rightarrow y=\dfrac8{13}$:
$$(x,y,z)=\left(\frac7{13},\ \frac8{13},\ 0\right)$$
Pregunta 8 · Recta perpendicular a un plano
Aviso: el enunciado extraído del PDF está incompleto (falta la definición del plano al que la recta es perpendicular), así que no puedo resolverla con fiabilidad. Método: se halla la normal $\vec n=(A,B,C)$ del plano indicado (o, si es la intersección de planos, se obtiene con el producto vectorial de las dos normales). La recta que pasa por $(1,-2,0)$ y es perpendicular al plano tiene como vector director $\vec n$:
$$\frac{x-1}{A}=\frac{y+2}{B}=\frac{z}{C}$$
Pregunta 9 · Coches eléctricos e híbridos
85 eléctricos y 145 híbridos (230 coches). 43 tienen errores en el software, 12 de ellos eléctricos, luego $43-12=31$ son híbridos.
a)
Híbrido y software correcto: $145-31=114$ coches.
$$P=\frac{114}{230}=\frac{57}{115}\approx0{,}496$$
b)
Híbrido con software defectuoso: $P(\text{defectuoso}\mid\text{híbrido})=\dfrac{31}{145}\approx0{,}214$.
Pregunta 10 · Gimnastas (probabilidad $\tfrac17$)
$X\sim\text{Bin}\left(9,\tfrac17\right)$.
a)
$P(X=2)=\dbinom92\left(\tfrac17\right)^2\left(\tfrac67\right)^7=36\cdot\dfrac{6^7}{7^9}\approx\mathbf{0{,}250}$.
b)
$P(X\geq1)=1-\left(\tfrac67\right)^9\approx1-0{,}2496=\mathbf{0{,}750}$.