Resolución paso a paso

Matemáticas

Aragón · 2021 · Convocatoria ordinaria

El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5); aquí se resuelven todas. Las fórmulas de la pregunta 6 (matriz con columnas combinadas) y de la 9 (productos) vienen deformadas en el PDF y explico la lectura.

Pregunta 1 · Función a trozos

$$f(x)=\begin{cases}x^3+bx+2&x\leq0\\\dfrac{\ln(x+1)}{ax}&x>0\end{cases}\qquad a,b\neq0$$

a) Continuidad en $\mathbb{R}$.

En $x=0$: $f(0)=2$ y $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)}{ax}=\frac1a$. Se exige $\dfrac1a=2$:

$$\boxed{a=\tfrac12,\quad b\ \text{cualquier valor no nulo}}$$

b) Extremo relativo en $x=-1$.

Para $x<0$, $f'(x)=3x^2+b=0$ en $x=-1\Rightarrow3+b=0\Rightarrow b=-3$. Como $f''(x)=6x$ y $f''(-1)=-6<0$, es un máximo relativo (con $f(-1)=-1+3+2=4$).

$$a=\tfrac12,\qquad b=-3$$

Pregunta 2 · Límite con parámetro

$$\lim_{x\to0}\left(1-\sin^2x\right)^{a/x^2}=\lim_{x\to0}(\cos^2x)^{a/x^2}$$

Forma $1^\infty$: exponente efectivo $\dfrac{a}{x^2}\ln\cos^2x=\dfrac{2a\ln\cos x}{x^2}\to\dfrac{2a\left(-\tfrac{x^2}{2}\right)}{x^2}=-a$. Entonces el límite es $e^{-a}$ y

$$e^{-a}=2\ \Rightarrow\ \boxed{a=-\ln2}$$

Pregunta 3 · Integral racional

$\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^3-3x+2}\,dx$. Como $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ y $x^2-1=(x-1)(x+1)$, se simplifica:

$$\frac{x^2-1}{x^3-3x+2}=\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{2/3}{x-1}+\frac{1/3}{x+2}$$

(con $A=\tfrac{1+1}{1+2}$ y $B=\tfrac{-2+1}{-2-1}$).

$$\int\frac{x^2-1}{x^3-3x+2}\,dx=\frac23\ln|x-1|+\frac13\ln|x+2|+C$$

Pregunta 4 · $f(x)=\dfrac{2x^3-x^2}{x^2-x-2}$

a) Dominio y asíntotas.

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$: dominio $\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}$.

Verticales: $x=2$ y $x=-1$ (el numerador vale $12$ y $-3$, no nulo).
Horizontal: no hay (el grado del numerador supera al del denominador).
Oblicua: dividiendo, $f(x)=2x+1+\dfrac{5x+2}{x^2-x-2}$, y el último sumando tiende a $0$: $y=2x+1$ (en $\pm\infty$).

b) Tangente en $x=1$.

$f(1)=\dfrac1{-2}=-\dfrac12$. Con $N=2x^3-x^2$ y $D=x^2-x-2$:

$$f'(1)=\frac{N'(1)D(1)-N(1)D'(1)}{D(1)^2}=\frac{4\cdot(-2)-1\cdot1}{4}=-\frac94$$

$$y+\frac12=-\frac94(x-1)\ \Rightarrow\ y=-\frac94x+\frac74$$

Pregunta 5 · Rango de $A-kI$

$A=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3\end{pmatrix}$ y $A-kI=\begin{pmatrix}-k&0&-2\\1&2-k&1\\1&0&3-k\end{pmatrix}$.

Desarrollando por la columna 2:

$$|A-kI|=(2-k)\big[-k(3-k)+2\big]=(2-k)(k-1)(k-2)=-(k-2)^2(k-1)$$

$k\neq1,\,2$: rango 3.
$k=1$: $\begin{pmatrix}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\end{pmatrix}$, con $F_3=-F_1$ y $F_2$ independiente: rango 2.
$k=2$: $\begin{pmatrix}-2&0&-2\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}$, todas las filas proporcionales: rango 1.

b) Inversa para $k=0$.

$|A|=4$:

$$A^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}6&0&4\\-2&2&-2\\-2&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac32&0&1\\-\tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12\\-\tfrac12&0&0\end{pmatrix}$$

Pregunta 6 · Determinante y sistema

Se sabe que $\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=5$. Lectura de la matriz del PDF:

$$\begin{vmatrix}2d&2e+2f&2f\\-g&-h-i&-i\\a&b+c&c\end{vmatrix}$$

A la columna 2 se le resta la columna 3 (no cambia el determinante): queda $(2e,\,-h,\,b)$.
Se saca el factor $2$ de la fila 1 y el factor $-1$ de la fila 2: el determinante vale $-2\begin{vmatrix}d&e&f\\g&h&i\\a&b&c\end{vmatrix}$.
Pasar la fila $(a,b,c)$ de la última posición a la primera es una permutación cíclica de filas (par), así que no cambia el signo: $\begin{vmatrix}d&e&f\\g&h&i\\a&b&c\end{vmatrix}=5$.

$$\text{Resultado: }-2\cdot5=\boxed{-10}$$

$A=\begin{pmatrix}2&0&0\\2&2&2\\2&0&0\end{pmatrix}$ y $A^T=\begin{pmatrix}2&2&2\\0&2&0\\0&2&0\end{pmatrix}$:

$$A-\tfrac12A^T=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\2&1&2\\2&-1&0\end{pmatrix}$$

El sistema $\left(A-\tfrac12A^T\right)X=\begin{pmatrix}0\\9\\5\end{pmatrix}$ es $x-y-z=0$, $2x+y+2z=9$, $2x-y=5$. De la tercera, $y=2x-5$; de la primera, $z=x-y=5-x$; en la segunda: $2x+(2x-5)+2(5-x)=9\Rightarrow2x+5=9\Rightarrow x=2$:

$$X=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$$

Pregunta 7 · Sistema matricial y potencia

$\begin{cases}2X+3Y=P\\3X-2Y=Q\end{cases}$ con $P=\begin{pmatrix}-1&2\\3&7\end{pmatrix}$ y $Q=\begin{pmatrix}5&3\\-2&4\end{pmatrix}$. Multiplicando la primera por 2 y la segunda por 3 y sumando: $13X=2P+3Q$. Multiplicando la primera por 3 y la segunda por 2 y restando: $13Y=3P-2Q$.

$$X=\frac{2P+3Q}{13}=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix},\qquad Y=\frac{3P-2Q}{13}=\begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$$

b) $M^n$ con $M=\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}$.

Se tiene $M^n=\begin{pmatrix}2^n&0\\c_n&1\end{pmatrix}$ y, de $M^{n+1}=M^nM$: $c_{n+1}=2c_n-1$ con $c_1=-1$, que da $c_n=1-2^n$ (por inducción: $2(1-2^n)-1=1-2^{n+1}$).

$$M^n=\begin{pmatrix}2^n&0\\1-2^n&1\end{pmatrix}$$

Pregunta 8 · Recta paralela a dos planos

$A(0,1,1)$; $\pi_1$ pasa por $B_1(-1,0,2)$, $B_2(1,3,1)$ y $B_3(2,-1,0)$; $\pi_2:\ x+2z=1$.

Normal de $\pi_1$: $\overrightarrow{B_1B_2}\times\overrightarrow{B_1B_3}=(2,3,-1)\times(3,-1,-2)=(-7,1,-11)\parallel(7,-1,11)$, luego $\pi_1:\ 7x-y+11z-15=0$ (comprobación: $B_2$: $7-3+11-15=0$).

La recta pasa por $A$ y es paralela a ambos planos, así que está en el plano por $A$ paralelo a $\pi_1$ y en el plano por $A$ paralelo a $\pi_2$:

Paralelo a $\pi_1$ por $A$: $7x-y+11z+D_1=0$ con $-1+11+D_1=0\Rightarrow D_1=-10$.
Paralelo a $\pi_2$ por $A$: $x+2z+D_2=0$ con $2+D_2=0\Rightarrow D_2=-2$.

$$\boxed{\begin{cases}7x-y+11z-10=0\\x+2z-2=0\end{cases}}$$

(Dirección de la recta: $(7,-1,11)\times(1,0,2)=(-2,-3,1)$.)

Pregunta 9 · Vectores

$\vec u_1=(-1,1,1)$, $\vec u_2=(0,3,1)$, $\vec u_3=(1,-2,0)$, $\vec u_4=(-2,0,1)$.

$\vec v_1=2\vec u_1-\vec u_2=(-2,-1,1)$, $\vec v_2=\vec u_1+\vec u_3=(0,-1,1)$, $\vec v_3=\vec u_4=(-2,0,1)$.

$$\begin{vmatrix}-2&-1&1\\0&-1&1\\-2&0&1\end{vmatrix}=-2(-1)+1\cdot2+1\cdot(-2)=2\neq0$$

Los tres vectores son linealmente independientes.

$(2\vec u_1-\vec u_2)\cdot(2\vec u_1-\vec u_2)=|\vec v_1|^2=4+1+1=\mathbf6$.
$(\vec u_4-\vec u_1)\times(\vec u_4-\vec u_1)=\vec 0$ (el producto vectorial de un vector consigo mismo es nulo).

Pregunta 10 · Hierro en suero

$X\sim N(120,\,30)$.

a) Anemia ($X<75$).

$z=\dfrac{75-120}{30}=-1{,}5$:

$$P(X<75)=\Phi(-1{,}5)=1-0{,}9332=\mathbf{0{,}0668}$$

Se busca $k$ con $P(X>k)=0{,}45$, es decir, $\Phi(z)=0{,}55$. El valor más próximo de la tabla es $\Phi(0{,}13)=0{,}5517$, luego $z=0{,}13$:

$$k=120+0{,}13\cdot30=\mathbf{123{,}9\ \mu\text{g/dl}}$$