Resolución paso a paso

Matemáticas

País Vasco · 2021 · Convocatoria extraordinaria

Examen del País Vasco (EAU 2021, extraordinaria): cinco partes de 2,5 puntos; se responden cuatro y en cada una se elige un ejercicio. Aquí se resuelven todos.

Primera parte · Ejercicio A1 (sistema con parámetro $\alpha$)

$$\begin{cases}\alpha x+2y-z=\alpha\\2x+\alpha y+z=2+\alpha\\x-\alpha y+2z=2\alpha\end{cases}$$

Discusión.

$$|A|=\begin{vmatrix}\alpha&2&-1\\2&\alpha&1\\1&-\alpha&2\end{vmatrix}=\alpha\cdot3\alpha-2\cdot3+(-1)(-3\alpha)=3\alpha^2+3\alpha-6=3(\alpha+2)(\alpha-1)$$

$\alpha\neq-2$ y $\alpha\neq1$: compatible determinado.
$\alpha=1$: $F_3=-F_1+F_2$ en los coeficientes y en el término independiente ($-1+3=2$): rango$(A)$ = rango$(A^*)=2<3$: compatible indeterminado.
$\alpha=-2$: $F_2=-F_1$ en los coeficientes, pero los términos independientes son $-2$ y $0$ (no cumplen $0=-(-2)$): incompatible.

Resolución para $\alpha=1$. $x+2y-z=1$ y $2x+y+z=3$. Sumando: $3x+3y=4\Rightarrow y=\tfrac43-x$, y de la primera $z=x+2y-1=\tfrac53-x$:

$$(x,y,z)=\left(\lambda,\ \tfrac43-\lambda,\ \tfrac53-\lambda\right),\qquad\lambda\in\mathbb{R}$$

Primera parte · Ejercicio B1 (ecuación matricial)

$A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\2&1\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}$. De $A^2X+B=C$:

$$A^2X=C-B=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix},\qquad A^2=\begin{pmatrix}1&0\\-4&1\end{pmatrix},\qquad(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}$$

$$X=(A^2)^{-1}(C-B)=\begin{pmatrix}0&2\\-2&8\end{pmatrix}$$

(Comprobación: $A^2X=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$ ✓.)

Segunda parte · Ejercicio A2

$r:\ (t,\ 2+2t,\ 1+3t)$, $\vec d_r=(1,2,3)$, $A=(1,2,3)$ y $B=(3,2,1)$.

Plano paralelo a $r$ por $A$ y $B$. $\overrightarrow{AB}=(2,0,-2)\parallel(1,0,-1)$. Normal: $(1,0,-1)\times(1,2,3)=(2,-4,2)\parallel(1,-2,1)$. Por $A$: $1-4+3+D=0\Rightarrow D=0$:

$$\boxed{x-2y+z=0}\qquad(B:\ 3-4+1=0\ \checkmark)$$

Distancia de $r$ al plano. $\vec d_r\cdot\vec n=1-4+3=0$: $r$ es paralela al plano, y la distancia es la de cualquiera de sus puntos, por ejemplo $(0,2,1)$:

$$d=\frac{|0-4+1|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac3{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{2}\approx1{,}22$$

Segunda parte · Ejercicio B2

$A=(0,2,1)$, $B=(1,b,0)$, $C=(-1,0,2)$, $D=(1,1,1)$.

a) Coplanarios.

$\overrightarrow{AB}=(1,b-2,-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,-2,1)$, $\overrightarrow{AD}=(1,-1,0)$:

$$\begin{vmatrix}1&b-2&-1\\-1&-2&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=1+(b-2)-3=b-4=0\ \Rightarrow\ \boxed{b=4}$$

b) Punto $Q$.

El plano es mediador del segmento $PQ$, luego $Q$ es el simétrico de $P$ respecto de él. Plano por $A$, $C$ y $D$: $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(1,1,3)$ y por $A$: $x+y+3z=5$ (comprobación con $B(1,4,0)$: $1+4=5$). Para $P(1,2,-3)$: $1+2-9-5=-11$ y $|\vec n|^2=11$. Pie de la perpendicular: $M=P+\vec n=(2,3,0)$ y

$$Q=2M-P=\boxed{(3,\,4,\,3)}$$

Tercera parte · Ejercicio A3 ($f(x)=\dfrac{x-4}{x^2-4}$)

$$f'(x)=\frac{(x^2-4)-(x-4)\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\frac{-x^2+8x-4}{(x^2-4)^2}$$

El numerador se anula en $x^2-8x+4=0\Rightarrow x=4\pm2\sqrt3$ (es decir, $x_1\approx0{,}536$ y $x_2\approx7{,}464$) y es positivo entre ambas raíces. El dominio excluye $x=\pm2$.

Decreciente en $(-\infty,-2)$, $(-2,\,4-2\sqrt3)$ y $(4+2\sqrt3,\,+\infty)$.
Creciente en $(4-2\sqrt3,\,2)$ y $(2,\,4+2\sqrt3)$.

Extremos relativos:

Mínimo en $x=4-2\sqrt3$: $f=\dfrac{2+\sqrt3}{4}\approx0{,}933$.
Máximo en $x=4+2\sqrt3$: $f=\dfrac{2-\sqrt3}{4}\approx0{,}067$.

Tercera parte · Ejercicio B3

$f(x)=x^4+Ax^2+Bx+C$, $f'(x)=4x^3+2Ax+B$.

Tangente $y=2x-1$ en $x=0$: $f(0)=C=-1$ y $f'(0)=B=2$.
Tangente horizontal en $x=1$: $f'(1)=4+2A+2=0\Rightarrow A=-3$.

$$\boxed{A=-3,\quad B=2,\quad C=-1}\qquad f(x)=x^4-3x^2+2x-1$$

En $x=1$: $f''(x)=12x^2-6\Rightarrow f''(1)=6>0$: es un mínimo (con $f(1)=-1$).

Cuarta parte · Ejercicio A4

Recinto entre las parábolas $y=4x-x^2$ (hacia abajo) e $y=x^2-6$ (hacia arriba). Cortes: $4x-x^2=x^2-6\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=-1$ y $x=3$. Entre esos valores la primera está por encima.

$$\text{Área}=\int_{-1}^{3}\big(-2x^2+4x+6\big)dx=\left[-\frac{2x^3}3+2x^2+6x\right]_{-1}^{3}=18-\left(-\frac{10}3\right)=\boxed{\frac{64}3\ \text{u}^2}$$

Cuarta parte · Ejercicio B4

$\displaystyle\int x\ln(x+1)\,dx$ por integración por partes ($u=\ln(x+1)$, $dv=x\,dx$):

$$=\frac{x^2}{2}\ln(x+1)-\frac12\int\frac{x^2}{x+1}\,dx,\qquad\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac1{x+1}$$

$$=\frac{x^2}{2}\ln(x+1)-\frac12\left(\frac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|\right)+C=\frac{x^2-1}{2}\ln(x+1)-\frac{x^2}{4}+\frac x2+C$$

Quinta parte · Ejercicio A5 (estudiantes)

700 estudiantes; $B$: del barrio (500), $C$: usan comedor (575), $B\cap C$: 400.

$P(C\mid B)=\dfrac{400}{500}=\mathbf{0{,}8}$.

$P(\overline B\mid C)=\dfrac{575-400}{575}=\dfrac{175}{575}=\dfrac7{23}\approx\mathbf{0{,}304}$.

$P(B\cup C)=\dfrac{500+575-400}{700}=\dfrac{675}{700}=\dfrac{27}{28}\approx\mathbf{0{,}964}$.

$P(\overline B\cap\overline C)=1-\dfrac{675}{700}=\dfrac{25}{700}=\dfrac1{28}\approx\mathbf{0{,}036}$.

Quinta parte · Ejercicio B5 (estaturas)

$X\sim N(1{,}74;\,0{,}05)$.

$P(X\leq1{,}74)=\mathbf{0{,}5}$ (la media es el eje de simetría).

$z_1=\dfrac{1{,}64-1{,}74}{0{,}05}=-2$ y $z_2=2$:

$$P(1{,}64<X<1{,}84)=\Phi(2)-\Phi(-2)=2\cdot0{,}9772-1=\mathbf{0{,}9544}$$

$z=\dfrac{1{,}54-1{,}74}{0{,}05}=-4$: $P(X<1{,}54)=\Phi(-4)\approx0{,}00003$ (fuera de la tabla, prácticamente $0$). En 1500 individuos se esperan $1500\cdot0{,}00003\approx0{,}05$: prácticamente ninguno.