Resolución paso a paso
Matemáticas
Hay cinco preguntas; las tres primeras son obligatorias y en la 4 y la 5 se elige una opción. Se resuelven aquí todas.
Pregunta 1 · ¿Cojea la silla?
Idea. La silla apoya sus cuatro patas en el suelo solo si los cuatro extremos $A,B,C,D$ están en un mismo plano. Cuatro puntos son coplanarios si el producto mixto de los vectores que parten de uno de ellos es cero.
Paso 1. Vectores desde $A(-2,3,120)$.
$$\vec{AB}=(22,39,0),\qquad \vec{AC}=(1,1,45),\qquad \vec{AD}=(22,40,45)$$
Paso 2. Producto mixto (determinante de los tres vectores):
$$\begin{vmatrix}22&39&0\\1&1&45\\22&40&45\end{vmatrix}=22(45-1800)-39(45-990)=-38610+36855=-1755\neq 0$$
Paso 3. Conclusión. El determinante no es cero: los cuatro puntos no son coplanarios. Los extremos de las patas no están en un plano, así que la silla cojeará al dejarla en el suelo.
Comprobación: el plano que pasa por $A,B,C$ tiene vector normal $\vec{AB}\times\vec{AC}=(1755,-990,-17)$ y, sustituyendo $D$, da $1755\cdot22-990\cdot40-17\cdot45=-1755\neq0$, así que $D$ queda fuera del plano.
Pregunta 2 · Primitiva de $\operatorname{sen}(x^2)$
a) Derivada de $F$.
Por el teorema fundamental del cálculo, si $F$ es primitiva de $f$ entonces $F'(x)=f(x)$:
$$F'(x)=\operatorname{sen}(x^2)$$
b) Límite.
Como $F(0)=0$, el límite $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{F(x)}{x^3}$ es del tipo $\tfrac00$. Aplicamos L'Hôpital derivando numerador y denominador:
$$\lim_{x\to0}\frac{F'(x)}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x^2)}{3x^2}$$
Sigue siendo $\tfrac00$; aplicamos L'Hôpital otra vez (o usamos $\operatorname{sen}t\sim t$):
$$\lim_{x\to0}\frac{2x\cos(x^2)}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos(x^2)}{3}=\frac13$$
Resultado: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{F(x)}{x^3}=\frac13$.
Pregunta 3 · Matrices
Se parte de $M\cdot A=I+N\cdot A$.
a) $A$ es regular.
Pasamos $N\cdot A$ al primer miembro y sacamos factor común $A$ por la derecha:
$$M A-N A=I\;\Longrightarrow\;(M-N)\,A=I$$
Existe una matriz $(M-N)$ que multiplicada por $A$ da la identidad, luego $A$ tiene inversa: $A$ es regular y además $A^{-1}=M-N$.
b) Cálculo de $A^{-1}$.
Basta restar las dos matrices dadas, elemento a elemento:
$$A^{-1}=M-N=\begin{pmatrix}1&-1&-1&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{pmatrix}$$
(los elementos con $\tfrac12$, $\tfrac13$, $\sqrt3$ y $\pi$ se cancelan al restar).
Pregunta 4 · Opción 4.1: $f(x)=\dfrac{x^2}{x-2}$
a) Asíntotas.
- Vertical: el denominador se anula en $x=2$ y el numerador vale $4\ne0$, así que $\displaystyle\lim_{x\to2^\pm}f(x)=\pm\infty$. Asíntota vertical: $x=2$.
- Horizontal: no hay, porque el grado del numerador supera al del denominador.
- Oblicua $y=mx+n$:
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\frac{x}{x-2}=1,\qquad n=\lim_{x\to\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim\frac{2x}{x-2}=2$$
Asíntota oblicua: $y=x+2$ (también se ve dividiendo: $f(x)=x+2+\dfrac{4}{x-2}$).
b) Monotonía.
$$f'(x)=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$$
El denominador es siempre positivo (con $x\neq2$), así que el signo lo da $x(x-4)$:
| Intervalo | $f'$ | $f$ |
|---|---|---|
| $(-\infty,0)$ | $+$ | crece |
| $(0,2)$ y $(2,4)$ | $-$ | decrece |
| $(4,\infty)$ | $+$ | crece |
Hay un máximo relativo en $x=0$ y un mínimo relativo en $x=4$, con $f(4)=\dfrac{16}{2}=8$.
Justificar que $f(x)\ge 8$ en $[3,5]$. En $[3,4]$ la función decrece de $f(3)=9$ a $f(4)=8$; en $[4,5]$ crece de $f(4)=8$ a $f(5)=\tfrac{25}{3}$. Su mínimo en $[3,5]$ es $f(4)=8$, luego $f(x)\ge8$.
Pregunta 4 · Opción 4.2 (alternativa): área con la tangente
$f(x)=-x^3+4x^2+x-4$. Tangente en $x=2$: $f(2)=-8+16+2-4=6$ y $f'(x)=-3x^2+8x+1\Rightarrow f'(2)=5$, luego $y=6+5(x-2)=5x-4$.
Puntos de corte: $f(x)=5x-4\Rightarrow-x^3+4x^2-4x=0\Rightarrow-x(x-2)^2=0\Rightarrow x=0$ y $x=2$ (doble).
Área. En $(0,2)$, $f(x)-(5x-4)=-x(x-2)^2\le0$: la tangente queda por encima de la curva.
$$A=\int_0^2\big[(5x-4)-f(x)\big]dx=\int_0^2 x(x-2)^2dx=\int_0^2(x^3-4x^2+4x)\,dx=\Big[\tfrac{x^4}{4}-\tfrac{4x^3}{3}+2x^2\Big]_0^2=4-\tfrac{32}{3}+8=\frac43$$
Resultado: área $=\dfrac43$ u².
Pregunta 5 · Opción 5.1: dos urnas
Urna A: 2 rojas y 3 azules. Urna B: 3 rojas y 2 azules.
a) ¿Mismo color o distinto?
$$P(\text{mismo})=\tfrac25\cdot\tfrac35+\tfrac35\cdot\tfrac25=\tfrac{12}{25},\qquad P(\text{distinto})=1-\tfrac{12}{25}=\tfrac{13}{25}$$
Es más probable que salgan de distinto color ($\tfrac{13}{25}>\tfrac{12}{25}$).
b) Intercambio y nueva extracción de B.
Se usa la probabilidad total según lo que se sacó antes. La urna B tiene siempre 5 bolas tras sacar una y meter otra:
| Se sacó (de A, de B) | Probabilidad | B queda con | $P(\text{azul})$ |
|---|---|---|---|
| roja, roja | $\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac35=\tfrac{6}{25}$ | 2 azules, 3 rojas | $\tfrac25$ |
| azul, azul | $\tfrac35\cdot\tfrac25=\tfrac{6}{25}$ | 2 azules, 3 rojas | $\tfrac25$ |
| roja, azul | $\tfrac25\cdot\tfrac25=\tfrac{4}{25}$ | 1 azul, 4 rojas | $\tfrac15$ |
| azul, roja | $\tfrac35\cdot\tfrac35=\tfrac{9}{25}$ | 3 azules, 2 rojas | $\tfrac35$ |
$$P(\text{azul})=\frac{6}{25}\cdot\frac25+\frac{6}{25}\cdot\frac25+\frac{4}{25}\cdot\frac15+\frac{9}{25}\cdot\frac35=\frac{12+12+4+27}{125}=\frac{55}{125}=\frac{11}{25}=0{,}44$$
Pregunta 5 · Opción 5.2 (alternativa): consumo de agua
Consumo $X\sim N(135,\sigma)$.
Paso 1. Hallar $\sigma$. El 20 % que más consume gasta más de 148,44 L: $P(X>148{,}44)=0{,}2$, es decir $P(X\le148{,}44)=0{,}8$. Tipificando, $P(Z\le z)=0{,}8$. En la tabla, $0{,}7995$ (para $z=0{,}84$) es el valor más cercano a $0{,}8$, así que $z=0{,}84$:
$$\frac{148{,}44-135}{\sigma}=0{,}84\;\Longrightarrow\;\sigma=\frac{13{,}44}{0{,}84}=16\ \text{L}$$
Paso 2. El 20 % que menos consume. Por simetría de la normal respecto a la media, el valor que deja un 20 % por debajo es $135-13{,}44$:
$$a=135-13{,}44=121{,}56\ \text{L}$$
Resultado: a los hogares a los que bajarán las tasas les corresponde un consumo inferior a 121,56 litros por persona y día.