Resolución paso a paso
Matemáticas
Prueba de acceso de la UPV/EHU (convocatoria ordinaria 2020). Cinco partes de 2,5 puntos; se responden cuatro y, en cada una, se elige entre el ejercicio A y el B. Aquí se resuelven los diez ejercicios. Algunos símbolos del PDF salen desordenados en el texto extraído; donde hay duda se indica cómo se ha leído.
Primera parte · Ejercicio A1 (sistema con parámetro $a$)
El sistema es $ax-y+2z=2,\; x-2y-z=1,\; x+2y+az=3$.
a) Discusión según $a$.
Determinante de los coeficientes:
$$\begin{vmatrix}a&-1&2\\1&-2&-1\\1&2&a\end{vmatrix}=-2a^2+3a+9=-(a-3)(2a+3)$$
- Si $a\neq3$ y $a\neq-\tfrac32$: compatible determinado.
- Si $a=3$: $\operatorname{rg}A=2$ (un menor $\begin{vmatrix}3&-1\\1&-2\end{vmatrix}=-5\neq0$) y en la ampliada $\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&-2&1\\1&2&3\end{vmatrix}=-14\neq0$, luego $\operatorname{rg}=3$: incompatible.
- Si $a=-\tfrac32$: $\operatorname{rg}A=2$ y en la ampliada $\begin{vmatrix}-\frac32&-1&2\\1&-2&1\\1&2&3\end{vmatrix}=22\neq0$, luego $\operatorname{rg}=3$: incompatible.
b) Resolución por Cramer (si $a\neq3,-\tfrac32$).
Con $D=-2a^2+3a+9$:
$$x=\frac{\begin{vmatrix}2&-1&2\\1&-2&-1\\3&2&a\end{vmatrix}}{D}=\frac{23-3a}{D},\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}a&2&2\\1&1&-1\\1&3&a\end{vmatrix}}{D}=\frac{a^2+a+2}{D},\qquad z=\frac{\begin{vmatrix}a&-1&2\\1&-2&1\\1&2&3\end{vmatrix}}{D}=\frac{10-8a}{D}$$
Comprobación con $a=0$ ($D=9$): $(x,y,z)=\left(\tfrac{23}{9},\tfrac29,\tfrac{10}9\right)$ cumple las tres ecuaciones.
Primera parte · Ejercicio B1 (inversa de una matriz con parámetro)
El PDF extraído desordena la matriz; se lee como
$$M(\alpha)=\begin{pmatrix}1&\alpha&1\\\alpha&1&\alpha\\0&\alpha&1\end{pmatrix}.$$
a) Valores de $\alpha$ sin inversa.
Se anula el determinante:
$$|M(\alpha)|=(1-\alpha^2)-\alpha\cdot\alpha+1\cdot\alpha^2=1-\alpha^2=0\iff\alpha=1\ \text{o}\ \alpha=-1$$
Para esos dos valores la matriz no tiene inversa.
b) Inversa para $\alpha=0$.
Como $|M(0)|=1\neq0$, sí existe. Con $M(0)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I+E$ (donde $E$ solo tiene un 1 en la esquina superior derecha), la inversa es
$$M(0)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
Se comprueba multiplicando: el producto es la identidad.
Segunda parte · Ejercicio A2 (plano por un punto y perpendicularidad)
a) Ecuación del plano.
Pasa por $(-1,2,3)$ y es paralelo a $\vec v=(-1,-2,-3)$ y $\vec w=(1,3,5)$, así que su normal es $\vec v\times\vec w$:
$$\vec v\times\vec w=(-10+9,\ -3+5,\ -3+2)=(-1,2,-1)\parallel(1,-2,1)$$
Con el punto: $(x+1)-2(y-2)+(z-3)=0$, es decir $x-2y+z+2=0$.
b) Valor de $A$.
Dos planos son perpendiculares si lo son sus normales: $(1,-2,1)\cdot(A,-1,5)=A+2+5=0\Rightarrow A=-7$.
Segunda parte · Ejercicio B2 (recta paralela a un plano y plano perpendicular)
a) Valor de $A$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos.
La dirección de $r$ es el producto vectorial de las normales de los planos que la definen:
$$\vec d=(4,-3,4)\times(3,-2,1)=(5,8,1)$$
El plano $2x-y+Az=0$ tiene normal $(2,-1,A)$. Son paralelos si $\vec d\cdot\vec n=10-8+A=0\Rightarrow A=-2$. (La recta no está contenida en el plano: el punto $(-7,-9,0)$ de $r$ da $2(-7)+9=-5\neq0$.)
b) Plano perpendicular a $r$ por el origen.
Si es perpendicular a la recta, su normal es la dirección de $r$: $5x+8y+z+D=0$, y como pasa por $(0,0,0)$, $D=0$:
$$5x+8y+z=0$$
Tercera parte · Ejercicio A3 (determinar un polinomio)
a) Condiciones.
Para $f(x)=ax^3+bx^2+c$: pasa por $(0,2)\Rightarrow c=2$; extremo en $(1,-1)\Rightarrow f(1)=-1$ y $f'(1)=0$, es decir $a+b+2=-1$ y $3a+2b=0$.
b) Resolución.
De $a+b=-3$ y $3a+2b=0$ se obtiene $a=6$, $b=-9$:
$$f(x)=6x^3-9x^2+2$$
c) ¿Más extremos?
$f'(x)=18x^2-18x=18x(x-1)$ se anula en $x=0$ y $x=1$. Como $f''(x)=36x-18$, es $f''(0)=-18<0$ (máximo relativo en $(0,2)$) y $f''(1)=18>0$ (mínimo relativo en $(1,-1)$). Sí hay otro extremo: el máximo relativo en $(0,2)$, y no hay más.
Tercera parte · Ejercicio B3 (tangentes desde un punto exterior)
a) Planteamiento.
La recta tangente en el punto de abscisa $t$ de $f(x)=x^2+9$ es $y-(t^2+9)=2t\,(x-t)$. Se impone que pase por $P=(0,0)$:
$$-(t^2+9)=-2t^2\ \Longrightarrow\ t^2=9\ \Longrightarrow\ t=\pm3$$
b) Las tangentes.
Para $t=3$: punto $(3,18)$, pendiente $6$, recta $y=6x$. Para $t=-3$: punto $(-3,18)$, pendiente $-6$, recta $y=-6x$. Hay dos tangentes: $y=6x$ e $y=-6x$.
Cuarta parte · Ejercicio A4 (área entre dos parábolas)
a) Puntos de corte.
$x^2-2x+1=-x^2+5\Rightarrow x^2-x-2=0$, de donde $x=-1$ y $x=2$. Entre ambos valores la parábola $g(x)=-x^2+5$ (cóncava, vértice $(0,5)$) queda por encima de $f(x)=(x-1)^2$ (convexa, vértice $(1,0)$).
b) Área.
$$A=\int_{-1}^{2}\left(-2x^2+2x+4\right)dx=\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]_{-1}^{2}=\frac{20}{3}-\left(-\frac73\right)=9\ \text{u}^2$$
Cuarta parte · Ejercicio B4 (dos integrales indefinidas)
a) $I=\int x\cos(2x)\,dx$ por partes.
Con $u=x$ y $dv=\cos(2x)\,dx$ ($du=dx$, $v=\tfrac12\sin(2x)$):
$$I=\frac{x\sin(2x)}{2}-\frac12\int\sin(2x)\,dx=\frac{x\sin(2x)}{2}+\frac{\cos(2x)}{4}+C$$
b) $J=\int\dfrac{dx}{x^2+2x-3}$ por fracciones simples.
El denominador se factoriza como $(x+3)(x-1)$ y
$$\frac{1}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}\ \Longrightarrow\ A=\frac14,\ B=-\frac14$$
$$J=\frac14\ln|x-1|-\frac14\ln|x+3|+C=\frac14\ln\left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C$$
Quinta parte · Ejercicio A5 (probabilidad total y Bayes)
Sean $S$ «satisfecha con su contrato» y $G$ «gana más de 1000 €»: $P(S)=0{,}7$, $P(G\mid S)=0{,}8$ y $P(G\mid\overline S)=0{,}2$.
a) Probabilidad de ganar más de 1000 €.
Por la probabilidad total: $P(G)=0{,}7\cdot0{,}8+0{,}3\cdot0{,}2=0{,}56+0{,}06=0{,}62$.
b) Satisfecha sabiendo que gana más de 1000 €.
Por Bayes: $P(S\mid G)=\dfrac{0{,}56}{0{,}62}=\dfrac{28}{31}\approx0{,}903$.
c) Gana menos de 1000 € y está satisfecha.
$P(\overline G\cap S)=P(S)\,P(\overline G\mid S)=0{,}7\cdot0{,}2=0{,}14$.
Quinta parte · Ejercicio B5 (distribución binomial del garaje)
a) Modelo.
Cada una de las 30 plazas está ocupada o no, con independencia de las demás y con probabilidad $0{,}4$: el número de coches $X$ sigue una binomial $B(30;\,0{,}4)$, con media $np=12$ y desviación típica $\sqrt{npq}=\sqrt{7{,}2}\approx2{,}68$.
b) Exactamente 8 coches.
$$P(X=8)=\binom{30}{8}\,0{,}4^8\,0{,}6^{22}\approx0{,}0505$$
c) Entre 10 y 20 coches.
Se puede sumar $P(10)+\dots+P(20)\approx0{,}823$, o aproximar por la normal $N(12;\,2{,}68)$ (válido porque $np=12\ge5$ y $nq=18\ge5$), con corrección por continuidad:
$$P(9{,}5<Y<20{,}5)=\Phi(3{,}17)-\Phi(-0{,}93)\approx0{,}9992-0{,}1762\approx0{,}823$$