Resolución paso a paso
Matemáticas
El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5); aquí se resuelven todas. En la pregunta 9 el enunciado extraído del PDF está incompleto (faltan los datos de los puntos), y lo indico allí.
Pregunta 1 · Función a trozos
$$f(x)=\begin{cases}a-\cos x&x\leq0\\x^2-b\sin\!\left(x+\tfrac\pi2\right)&x>0\end{cases}$$
Como $\sin\!\left(x+\tfrac\pi2\right)=\cos x$, para $x>0$ es $f(x)=x^2-b\cos x$.
a) Continuidad.
Cada trozo es continuo en su dominio (funciones elementales); solo hay que estudiar $x=0$:
- $f(0)=a-\cos0=a-1$ y $\lim_{x\to0^-}f=a-1$.
- $\lim_{x\to0^+}f=0-b\cos0=-b$.
$f$ es continua en $\mathbb{R}$ si y solo si $a-1=-b$, es decir, $a+b=1$. Si $a+b\neq1$, es continua en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ y tiene una discontinuidad de salto en $x=0$.
b) Tangente en $x=\tfrac\pi2$ para $a=1$.
En $x=\tfrac\pi2>0$ se usa $f(x)=x^2-b\cos x$, con $f'(x)=2x+b\sin x$.
- Punto: $f\!\left(\tfrac\pi2\right)=\tfrac{\pi^2}{4}-b\cos\tfrac\pi2=\tfrac{\pi^2}4$, que es justo el valor de la recta en ese punto: $y=\tfrac\pi2\cdot\tfrac\pi2=\tfrac{\pi^2}4$ ✓ (para cualquier $b$).
- Pendiente: $f'\!\left(\tfrac\pi2\right)=\pi+b$ debe valer $\tfrac\pi2$.
$$\pi+b=\frac\pi2\ \Rightarrow\ \boxed{b=-\frac\pi2}$$
Pregunta 2 · Límite
$$\lim_{x\to2}\frac{(x-2)\,(3x^5+5x^4-7x^3+2x^2-x+3)+2}{3-(x^2-4)\sqrt{\sin(2x^2)}+\cos^2x+\log(x+5)}$$
Todas las funciones que aparecen son continuas en $x=2$ (en $x=2$: $\sin(8)>0$, así que la raíz está definida y es continua, y $x+5=7>0$), por lo que no hay indeterminación y el límite se obtiene sustituyendo:
- Numerador: $(2-2)\cdot P(2)+2=2$.
- Denominador: $3-0\cdot\sqrt{\sin8}+\cos^22+\ln7=3+\cos^22+\ln7\approx3+0{,}173+1{,}946=5{,}119$.
$$\lim=\frac{2}{3+\cos^22+\ln7}\approx0{,}391$$
(Se entiende $\log$ como logaritmo neperiano.)
Pregunta 3 · Área entre $f(x)=x+6$ y $g(x)$
$g(x)=\begin{cases}-2x&x<0\\x^2&x\geq0\end{cases}$.
Puntos de corte.
- Con $x<0$: $x+6=-2x\Rightarrow x=-2$ (válido).
- Con $x\geq0$: $x+6=x^2\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow x=3$ (la raíz $x=-2$ no vale en este trozo).
Entre $-2$ y $3$ la recta $f$ queda por encima de $g$ (por ejemplo, en $x=1$: $7>1$).
$$\text{Área}=\int_{-2}^{0}\big[(x+6)-(-2x)\big]dx+\int_0^3\big[(x+6)-x^2\big]dx=\int_{-2}^{0}(3x+6)\,dx+\int_0^3(x+6-x^2)\,dx$$
$$=\left[\tfrac{3x^2}{2}+6x\right]_{-2}^{0}+\left[\tfrac{x^2}{2}+6x-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^3=6+\left(\tfrac92+18-9\right)=6+\tfrac{27}{2}=\frac{39}{2}=19{,}5\ \text{u}^2$$
Pregunta 4 · Cristal rectangular
Interpretación de la figura. Con las medidas indicadas: el cristal original mide 120 cm de alto y 70 cm de ancho, y se ha cortado la esquina superior derecha de modo que el borde superior mide 60 cm y el lado derecho 90 cm. Con el origen en la esquina inferior izquierda, el corte es el segmento que une $(60,120)$ con $(70,90)$, de pendiente $\dfrac{90-120}{70-60}=-3$, es decir, la recta $y=300-3x$.
El rectángulo de mayor área tiene una esquina en el origen y la opuesta $(x,y)$ dentro de la figura.
- Si $x\leq60$: la altura máxima es $y=120$ y el área $A=120x$, que crece hasta $x=60$: $A=7200$ cm$^2$.
- Si $60\leq x\leq70$: el vértice está en el borde inclinado, $y=300-3x$, y $A(x)=x(300-3x)=300x-3x^2$. Su derivada, $A'(x)=300-6x$, se anula en $x=50\notin[60,70]$ y es negativa en todo el intervalo, así que $A$ decrece: el máximo en este tramo es en $x=60$ ($7200$ cm$^2$) y vale $A(70)=6300$ en el otro extremo.
El máximo es $60$ cm de ancho por $120$ cm de alto, con área $7200$ cm$^2$: basta un solo corte vertical, a 60 cm del lado izquierdo (que quita la franja derecha de 10 cm).
Pregunta 5 · Matriz $B$
La condición es
$$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\-7&-8&-9\end{pmatrix}B=I_3-\begin{pmatrix}10&11&12\\7&9&9\\-4&-5&-7\end{pmatrix}B$$
Pasando el segundo término al otro lado: $(M_1+M_2)\,B=I_3$ con
$$S=M_1+M_2=\begin{pmatrix}11&13&15\\11&14&15\\-11&-13&-16\end{pmatrix}$$
Si $SB=I$ entonces $|S||B|=1$, luego $|B|\neq0$: $B$ tiene inversa y esta es precisamente $S$:
$$B^{-1}=S=\begin{pmatrix}11&13&15\\11&14&15\\-11&-13&-16\end{pmatrix}$$
(Comprobación: $|S|=11(-29)-13(-11)+15(11)=-11\neq0$.)
Pregunta 6 · Rango y sistema $AX=B$
$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&m&m\\4&4&2m\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}3\\5\\12\end{pmatrix}$.
a) Rango.
$$|A|=1\,(2m^2-4m)-1\,(2m-4m)+1\,(4-4m)=2m^2-6m+4=2(m-1)(m-2)$$
- $m\neq1$ y $m\neq2$: $|A|\neq0$, rango 3.
- $m=1$: $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\4&4&2\end{pmatrix}$: dos filas iguales y la tercera no proporcional: rango 2.
- $m=2$: $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\4&4&4\end{pmatrix}$: la fila 3 es $4\times$ la fila 1 y las filas 1 y 2 son independientes: rango 2.
b) $AX=B$ con $m=2$:
$$\begin{cases}x+y+z=3\\x+2y+2z=5\\4x+4y+4z=12\end{cases}$$
La tercera ecuación es $4\times$ la primera (y $12=4\cdot3$), es redundante. Restando las dos primeras: $y+z=2$, y entonces $x=1$. El sistema es compatible indeterminado:
$$(x,y,z)=(1,\ \lambda,\ 2-\lambda),\qquad\lambda\in\mathbb{R}$$
Pregunta 7 · Medicamentos y principios activos
Sean $x,y,z$ los gramos de $M_1,M_2,M_3$ que se fabrican. Disponible: $A_1=70$ g $=70\,000$ mg, $A_2=90\,000$ mg y $A_3=160\,000$ mg. Agotar cada principio activo exige:
$$\begin{cases}10x+10y+20z=70\,000\\10x+20y+30z=90\,000\\20x+30y+50z=160\,000\end{cases}\iff\begin{cases}x+y+2z=7000\\x+2y+3z=9000\\2x+3y+5z=16\,000\end{cases}$$
La tercera ecuación es la suma de las dos primeras ($7000+9000=16\,000$), así que es redundante. Restando las dos primeras: $y+z=2000\Rightarrow y=2000-z$, y $x=7000-y-2z=5000-z$.
El sistema es compatible indeterminado: sí es posible gastar exactamente todo. Con $z=\lambda$ gramos de $M_3$:
$$x=5000-\lambda,\qquad y=2000-\lambda,\qquad z=\lambda,\qquad0\leq\lambda\leq2000$$
(el límite $\lambda\leq2000$ es para que ninguna cantidad sea negativa). Por ejemplo, $\lambda=0$: 5000 g de $M_1$ y 2000 g de $M_2$; $\lambda=2000$: 3000 g de $M_1$ y 2000 g de $M_3$.
Pregunta 8 · Plano perpendicular a una recta
La recta es la intersección de los planos $2x+y-z=0$ y $x-y+z=-3$. Su dirección es el producto vectorial de las normales:
$$(2,1,-1)\times(1,-1,1)=\big(1\cdot1-(-1)(-1),\ (-1)\cdot1-2\cdot1,\ 2(-1)-1\cdot1\big)=(0,-3,-3)\parallel(0,1,1)$$
El plano perpendicular a la recta tiene como normal ese vector $(0,1,1)$ y pasa por $(3,2,1)$:
$$0\,(x-3)+1\,(y-2)+1\,(z-1)=0\ \Rightarrow\ \boxed{y+z-3=0}$$
Pregunta 9 · Vectores $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ del triángulo $ABC$
Aviso: el texto del PDF está incompleto (no aparecen los puntos $A,B,C$ ni el inicio del enunciado). Se contesta con el planteamiento que dan los apartados: $\vec v_1=\overrightarrow{AB}$, $\vec v_2=\overrightarrow{BC}$, $\vec v_3=\overrightarrow{CA}$.
a) Independencia lineal.
Los tres vectores recorren el contorno cerrado del triángulo, así que su suma es nula:
$$\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0$$
Por tanto $\vec v_3=-\vec v_1-\vec v_2$ y los tres son linealmente dependientes (siempre, sean cuales sean $A$, $B$ y $C$); a lo sumo $\vec v_1$ y $\vec v_2$ son independientes si los puntos no están alineados.
b) Área.
Se calcula con el producto vectorial de dos lados:
$$\text{Área}=\tfrac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\tfrac12\left|\vec v_1\times\vec v_2\right|$$
(Para dar un valor numérico se necesitan las coordenadas de $A$, $B$ y $C$, que no figuran en el texto del PDF.)
Pregunta 10 · Notas de Matemáticas II (binomial)
La probabilidad de nota $<5$ es $p=1-0{,}84=0{,}16$. En $n=15$ exámenes, $X$ = nº de exámenes con nota inferior a 5, $X\sim\text{Bin}(15,\,0{,}16)$.
a) Exactamente 2 con nota inferior a 5.
$$P(X=2)=\binom{15}{2}\,0{,}16^2\,0{,}84^{13}=105\cdot0{,}0256\cdot0{,}1037\approx0{,}279$$
b) ¿Menos de 2 o más de 2?
- $P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}84^{15}+15\cdot0{,}16\cdot0{,}84^{14}\approx0{,}0731+0{,}2089=0{,}282$.
- $P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(0{,}282+0{,}279)\approx0{,}439$.
Es más probable que haya más de 2 exámenes con nota inferior a 5 ($0{,}439$) que menos de 2 ($0{,}282$).