Resolución paso a paso
Matemáticas
Prueba de acceso de la UPV/EHU (convocatoria extraordinaria 2020). Hay cinco partes de 2,5 puntos; se responden cuatro y, en cada una, se elige entre el ejercicio A y el B. Aquí se resuelven los diez ejercicios. Algunos símbolos del PDF salen desordenados en el texto extraído; donde hay duda se indica cómo se ha leído.
Primera parte · Ejercicio A1 (sistema con parámetro $A$)
El sistema es $x+y+z=2A,\; 2x+3y+4z=2,\; 4x+4y+Az=4A$.
a) Discusión según $A$.
El rango se estudia con el determinante de los coeficientes:
$$\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\4&4&A\end{vmatrix}=(3A-16)-(2A-16)+(8-12)=A-4$$
- Si $A\neq4$: $|A|\neq0$, rangos iguales a 3 y el sistema es compatible determinado.
- Si $A=4$: la tercera fila de coeficientes es $(4,4,4)=4\cdot(1,1,1)$, así que $\operatorname{rg}=2$. Pero en la ampliada la tercera ecuación es $4x+4y+4z=16$, mientras que cuatro veces la primera es $4x+4y+4z=32$: son incompatibles ($\operatorname{rg}=3$). Incompatible.
b) Resolución cuando es posible ($A\neq4$).
Por Cramer, con $|A|=A-4$:
$$x=\frac{\begin{vmatrix}2A&1&1\\2&3&4\\4A&4&A\end{vmatrix}}{A-4}=\frac{6A^2-30A+8}{A-4},\quad y=\frac{\begin{vmatrix}1&2A&1\\2&2&4\\4&4A&A\end{vmatrix}}{A-4}=\frac{-4A^2+26A-8}{A-4},\quad z=\frac{\begin{vmatrix}1&1&2A\\2&3&2\\4&4&4A\end{vmatrix}}{A-4}=\frac{-4A}{A-4}$$
Comprobación: $x+y+z=\dfrac{2A^2-8A}{A-4}=2A$. Con $A=0$ sale $(x,y,z)=(-2,2,0)$, que cumple las tres ecuaciones.
Primera parte · Ejercicio B1 (potencia de una matriz)
El PDF extraído desordena la matriz; se lee como $M=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ (la que permite el cálculo pedido de $M^{2020}$).
a) Primeras potencias.
Se multiplica y se busca el patrón:
$$M^2=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix},\qquad M^3=M^2M=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$$
b) Fórmula general y $M^{2020}$.
Todo indica que $M^n=\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}$. Se justifica por inducción: si es cierto para $n-1$, entonces
$$M^n=M^{n-1}M=\begin{pmatrix}1&0\\n-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}$$
Por tanto $M^{2020}=\begin{pmatrix}1&0\\2020&1\end{pmatrix}$.
Segunda parte · Ejercicio A2 (recta y plano paralelos)
La recta es $r:\ 3x+y-z=2,\ 2x+y+4z=1$ y el plano, tal como aparece en el PDF, $\pi:\ 3x+(\alpha+1)(y+1)+\alpha z=1$.
a) Valor de $\alpha$ para que sean paralelos.
La dirección de $r$ es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:
$$\vec d=(3,1,-1)\times(2,1,4)=(5,-14,1)$$
El vector normal del plano es $\vec n=(3,\alpha+1,\alpha)$ (el término independiente no influye). Son paralelos si $\vec d\perp\vec n$:
$$\vec d\cdot\vec n=15-14(\alpha+1)+\alpha=1-13\alpha=0\ \Longrightarrow\ \alpha=\frac{1}{13}$$
b) ¿Pertenece $P=(1,1,2)$ al plano?
Con $\alpha=\tfrac1{13}$ el plano es $3x+\tfrac{14}{13}(y+1)+\tfrac1{13}z=1$. En $P$ el primer miembro vale $3+\tfrac{28}{13}+\tfrac{2}{13}=\tfrac{69}{13}\neq1$. No pertenece. (Si el término «$(y+1)$» fuese solo «$y$», saldría $3+\tfrac{14}{13}+\tfrac2{13}=\tfrac{55}{13}\neq1$: la conclusión es la misma.)
Segunda parte · Ejercicio B2 (punto simétrico respecto de un plano)
a) Planteamiento.
El simétrico $Q$ de $P=(1,2,3)$ respecto del plano $x+y+z=0$ se obtiene así: se traza la recta perpendicular al plano por $P$, se halla su corte $M$ con el plano (el pie) y se toma $Q$ de modo que $M$ sea el punto medio de $PQ$.
b) Cálculo.
La perpendicular por $P$ tiene la dirección de la normal $(1,1,1)$: $(1+t,\,2+t,\,3+t)$. Al cortar con el plano: $(1+t)+(2+t)+(3+t)=0\Rightarrow t=-2$, así que $M=(-1,0,1)$. Como $M$ es el punto medio:
$$Q=2M-P=(-2,0,2)-(1,2,3)=(-3,-2,-1)$$
Tercera parte · Ejercicio A3 (función derivable a trozos)
La función es $f(x)=ax^2+3x$ si $x\le2$ y $f(x)=x^2-bx-4$ si $x>2$.
a) Continuidad en $x=2$.
Para ser derivable ha de ser continua:
$$4a+6=4-2b-4\ \Longrightarrow\ 4a+6=-2b$$
b) Derivabilidad en $x=2$.
Las derivadas laterales deben coincidir: $f'(2^-)=4a+3$ y $f'(2^+)=4-b$, así que $b=1-4a$.
c) Valores de $a$ y $b$.
Sustituyendo en la primera ecuación: $4a+6=-2(1-4a)=-2+8a\Rightarrow4a=8$. Por tanto $a=2$ y $b=1-8=-7$. Comprobación: $f(2)=14$ por ambos lados y $f'(2)=11$ por ambos lados.
Tercera parte · Ejercicio B3 (crecimiento y extremos)
a) Derivada y puntos críticos.
Para $f(x)=x^2e^{2x}$:
$$f'(x)=2xe^{2x}+2x^2e^{2x}=2x(x+1)e^{2x}$$
Como $e^{2x}>0$, se anula en $x=-1$ y en $x=0$.
b) Crecimiento y extremos.
El signo de $f'$ es el de $x(x+1)$:
- $f'>0$ (crece) en $(-\infty,-1)$ y en $(0,+\infty)$.
- $f'<0$ (decrece) en $(-1,0)$.
Hay un máximo relativo en $x=-1$, de valor $f(-1)=e^{-2}\approx0{,}135$, y un mínimo relativo en $x=0$, de valor $f(0)=0$ (que es además el mínimo absoluto, pues $f\ge0$).
Cuarta parte · Ejercicio A4 (área entre parábola y recta)
a) Puntos de corte y dibujo.
Se igualan $3-x^2=2x$, es decir $x^2+2x-3=0$, que da $x=-3$ y $x=1$. La región finita queda entre ambos valores, con la parábola $y=3-x^2$ (cóncava, vértice $(0,3)$) por encima de la recta $y=2x$. Puntos de corte: $(-3,-6)$ y $(1,2)$.
b) Área.
Por la regla de Barrow:
$$A=\int_{-3}^{1}\left(3-x^2-2x\right)dx=\left[3x-\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-3}^{1}=\frac53-(-9)=\frac{32}{3}\approx10{,}67\ \text{u}^2$$
Cuarta parte · Ejercicio B4 (integración por partes)
a) El método.
La integración por partes se basa en la regla del producto: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Se elige como $u$ la parte que se simplifica al derivar (aquí el polinomio) y como $dv$ la que se sabe integrar.
b) Cálculo de $\int x\cos(3x)\,dx$.
Con $u=x$ y $dv=\cos(3x)\,dx$, se tiene $du=dx$ y $v=\tfrac13\sin(3x)$:
$$\int x\cos(3x)\,dx=\frac{x\sin(3x)}{3}-\frac13\int\sin(3x)\,dx=\frac{x\sin(3x)}{3}+\frac{\cos(3x)}{9}+C$$
Quinta parte · Ejercicio A5 (distribución normal)
a) Probabilidad de recipiente defectuoso.
La capacidad es $X\sim N(10;\,0{,}1)$. Es defectuoso si $X\notin(9{,}8;\,10{,}1)$. Se tipifica con $Z=\dfrac{X-10}{0{,}1}$: los límites son $z=-2$ y $z=1$.
$$P(\text{no defectuoso})=P(-2<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-2)=0{,}8413-0{,}0228=0{,}8185$$
$$P(\text{defectuoso})=1-0{,}8185\approx0{,}1815$$
b) Defectuosos esperados entre 1500.
La media de una binomial es $n\cdot p$: $1500\cdot0{,}1815\approx272$ recipientes.
Quinta parte · Ejercicio B5 (probabilidades con dos sucesos)
Sean $C$ «cabello castaño» y $A$ «ojos azules»: $P(C)=0{,}40$, $P(A)=0{,}35$ y $P(C\cap A)=0{,}15$.
a) Castaño y ojos azules.
$P(A\mid C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}15}{0{,}40}=0{,}375$.
b) Ojos azules y cabello no castaño.
$P(\overline C\mid A)=\dfrac{P(A)-P(A\cap C)}{P(A)}=\dfrac{0{,}35-0{,}15}{0{,}35}=\dfrac{4}{7}\approx0{,}571$.
c) Ni castaño ni ojos azules.
Primero la unión, $P(C\cup A)=0{,}40+0{,}35-0{,}15=0{,}60$, y el complementario: $P(\overline C\cap\overline A)=1-0{,}60=0{,}40$.
d) Castaño o ojos azules.
$P(C\cup A)=0{,}60$.