Resolución paso a paso

Matemáticas

Aragón · 2025 · Convocatoria ordinaria

La pregunta 1 es obligatoria; en las preguntas 2, 3 y 4 se elige una opción. Se resuelven todas las opciones.

Pregunta 1 · Mensaje encriptado

Tabla: A=1, B=2, ..., H=8, ..., L=12, ..., O=16, ... Ñ=15 (el alfabeto incluye la Ñ). La matriz de encriptado es $M_E=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\-1&0&-1&-1\\-1&-1&0&-1\\-1&-1&-1&0\end{pmatrix}$.

a) Encriptar "HOLA".

H = 8, O = 16, L = 12, A = 1, así que $M_c=(8,16,12,1)^t$:

$$M_E M_c=\begin{pmatrix}8+16+12+1\\-8-12-1\\-8-16-1\\-8-16-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}37\\-21\\-25\\-36\end{pmatrix}=M_{final}$$

b) Desencriptar.

Como $M_{final}=M_E\,M_c$, se recupera el mensaje multiplicando por la matriz inversa: $M_c=M_E^{-1}M_{final}$. Para ello $M_E$ debe ser invertible ($|M_E|\neq0$). Después se convierte cada número en su letra con la tabla.

c) Mensaje original de $M_{final}=(30,-21,-25,-16)^t$.

Se llama $M_c=(a,b,c,d)^t$ y $S=a+b+c+d$. El sistema es

$$S=30,\qquad -a-c-d=-21,\qquad -a-b-d=-25,\qquad -a-b-c=-16$$

La segunda ecuación es $-(S-b)=-21$, luego $b=S-21=9$. De la tercera, $c=S-25=5$, y de la cuarta, $d=S-16=14$. Entonces $a=30-9-5-14=2$. (Esto equivale a la inversa $M_E^{-1}=\begin{pmatrix}-2&-1&-1&-1\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}$.)

$$M_c=(2,9,5,14)^t\ \Rightarrow\ \text{B, I, E, N}\ \Rightarrow\ \textbf{«BIEN»}$$

d) Condición para otra matriz.

Para poder encriptar y desencriptar sin problemas, la nueva matriz debe ser invertible ($\det\neq0$, es decir, de rango 4). Si además se quiere trabajar siempre con números enteros al desencriptar, conviene que $\det=\pm1$ (así la inversa tiene entradas enteras).

Pregunta 2 · Opción 2.1 (producto vectorial)

Sean $u,v$ no nulos y perpendiculares, y $w=u\times v$. Entonces $w\neq0$ es perpendicular a $u$ y a $v$, y $|w|=|u||v|$. Los tres vectores $u,v,w$ forman una terna ortogonal (positivamente orientada).

$a=(u\times v)+w=w+w=2w$: es un vector, paralelo a $w$ y perpendicular a $u$ y a $v$.
$b=v\times(v\times w)$: es un vector. Como $v\perp w$, $v\times w$ tiene módulo $|v||w|$ y dirección perpendicular a ambos, es decir, paralela a $u$: $v\times w=\dfrac{|v||w|}{|u|}u=|v|^2u$. Entonces $b=|v|^2\,(v\times u)=-|v|^2\,(u\times v)=-|v|^2\,w$: paralelo a $w$ (con sentido contrario) y perpendicular a $u$ y a $v$.
$c=u\cdot(v\times w)$: es un escalar (producto mixto). Usando $v\times w=|v|^2u$, $c=|v|^2\,u\cdot u=|u|^2|v|^2>0$.

Pregunta 2 · Opción 2.2

a) Recta $s$ por $P(4,-3,0)$ perpendicular al plano $\pi:\ x-2y+z-1=0$.

El vector director de $s$ es el normal al plano, $\vec n=(1,-2,1)$. Ecuaciones paramétricas:

$$s:\ \begin{cases}x=4+t\\y=-3-2t\\z=t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$$

b) Plano que contiene a $Q(1,2,3)$ y a $r:\ \begin{cases}x+y+z=1\\x-2y=0\end{cases}$.

Se parametriza $r$: de la segunda, $x=2y$; con $y=\lambda$ queda $x=2\lambda$, $z=1-3\lambda$. Un punto de $r$ es $R(0,0,1)$ y su dirección, $\vec d=(2,1,-3)$. El plano pasa por $R$ y contiene a $\vec d$ y a $\overrightarrow{RQ}=(1,2,2)$:

Un vector normal al plano es $\vec n=\vec d\times\overrightarrow{RQ}$:

$$\vec d\times\overrightarrow{RQ}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&-3\\1&2&2\end{vmatrix}=(1\cdot2-(-3)\cdot2,\;(-3)\cdot1-2\cdot2,\;2\cdot2-1\cdot1)=(8,-7,3)$$

El plano pasa por $R(0,0,1)$, luego es $8x-7y+3(z-1)=0$:

$$\boxed{8x-7y+3z-3=0}$$

Comprobación: $Q$: $8-14+9-3=0$ ✓; el punto $(2,1,-2)$ de $r$: $16-7-6-3=0$ ✓.

Pregunta 3 · Opción 3.1 (aproximación de $e^x$ por $mx$)

$\text{err}(m)=\displaystyle\int_0^1(e^x-mx)^2dx=\int_0^1e^{2x}dx-2m\int_0^1xe^x\,dx+m^2\int_0^1x^2dx$. Cada integral:

$\displaystyle\int_0^1e^{2x}dx=\frac{e^2-1}{2}$.
$\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx=\big[xe^x-e^x\big]_0^1=(e-e)-(0-1)=1$ (por partes).
$\displaystyle\int_0^1x^2dx=\frac13$.

$$\text{err}(m)=\frac{e^2}{2}-\frac12-2m+\frac{m^2}{3}\qquad\checkmark$$

$\text{err}'(m)=-2+\dfrac{2m}{3}=0\Rightarrow m=3$. Como $\text{err}''(m)=\tfrac23>0$, es un mínimo. Valor mínimo:

$$\text{err}(3)=\frac{e^2}{2}-\frac12-6+3=\frac{e^2-7}{2}\approx0{,}195$$

Pregunta 3 · Opción 3.2

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2-\sin(x^2)}{1-\cos x}$ es de tipo $\tfrac00$. Con el desarrollo $\sin t=t-\tfrac{t^3}{6}+\dots$: $x^2-\sin(x^2)\approx\tfrac{x^6}{6}$, y $1-\cos x\approx\tfrac{x^2}{2}$. Entonces el cociente es $\approx\dfrac{x^4}{3}\to0$. (Con L'Hôpital: $\dfrac{2x-2x\cos(x^2)}{\sin x}=\dfrac{2x\,(1-\cos x^2)}{\sin x}\to0$ porque $1-\cos x^2\sim\tfrac{x^4}{2}$.)

$$\lim_{x\to0}\frac{x^2-\sin(x^2)}{1-\cos x}=0$$

En $[0,\pi]$, $\sin x\geq0$ y $\cos^2x\geq0$, luego $f\geq0$ y el área es la integral. Con el cambio $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$:

$$\int_0^\pi\cos^2x\sin x\,dx=\left[-\frac{\cos^3x}{3}\right]_0^\pi=\frac13+\frac13=\frac23\ \text{u}^2$$

Pregunta 4 · Opción 4.1 (tablero de tres casillas)

a) Probabilidades de transición en un turno.

Cara = izquierda, cruz = derecha, cada una con probabilidad $\tfrac12$; si no se puede mover, se queda.

Desde \ A	1	2	3
1	$\tfrac12$ (cara: no puede, se queda)	$\tfrac12$ (cruz)	$0$
2	$\tfrac12$ (cara)	$0$	$\tfrac12$ (cruz)
3	$0$	$\tfrac12$ (cara)	$\tfrac12$ (cruz: no puede, se queda)

Matriz de transición: $P=\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac12&0\\\tfrac12&0&\tfrac12\\0&\tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix}$.

b) Estar en 1 tras tres turnos partiendo de 1.

Se calcula la fila 1 de $P^3$.

$$P^2=\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac14&\tfrac14\\\tfrac14&\tfrac12&\tfrac14\\\tfrac14&\tfrac14&\tfrac12\end{pmatrix},\qquad \text{fila 1 de }P^3=\left(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac14\right)P=\left(\tfrac38,\tfrac38,\tfrac14\right)$$

La probabilidad pedida es $P^3_{11}=\dfrac38=0{,}375$.

c) Reparto de la ficha dos turnos después.

Distribución inicial $\pi_0=\left(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac14\right)$. Se calcula $\pi_0P^2$:

$$\tfrac12\left(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac14\right)+\tfrac14\left(\tfrac14,\tfrac12,\tfrac14\right)+\tfrac14\left(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac12\right)=\left(\tfrac38,\;\tfrac5{16},\;\tfrac5{16}\right)$$

Es decir, $P(\text{casilla }1)=\tfrac38$, $P(\text{casilla }2)=\tfrac5{16}$ y $P(\text{casilla }3)=\tfrac5{16}$ (suman 1).

Pregunta 4 · Opción 4.2

Datos: $P(A\mid B)=\tfrac23$ y $P(B\mid A)=\tfrac34$.

a) Si $A$ y $B$ fueran independientes.

Entonces $P(A\mid B)=P(A)=\tfrac23$ y $P(B\mid A)=P(B)=\tfrac34$, y

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=\frac23+\frac34-\frac12=\frac{11}{12}$$

b) Si $P(A\cup B)=\tfrac56$.

Como $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)$: $\tfrac23P(B)=\tfrac34P(A)\Rightarrow P(A)=\tfrac89P(B)$. Entonces

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\tfrac89P(B)+P(B)-\tfrac23P(B)=\tfrac{11}{9}P(B)=\tfrac56\ \Rightarrow\ P(B)=\frac{15}{22}$$

$$P(A)=\frac89\cdot\frac{15}{22}=\frac{20}{33},\qquad P(A\cap B)=\frac23\cdot\frac{15}{22}=\frac5{11}$$

Comprobación: $\tfrac{20}{33}+\tfrac{15}{22}-\tfrac5{11}=\tfrac{40+45-30}{66}=\tfrac56$ ✓. (El enunciado pide "$P(A)$, $P(B)$ y $P(A\cup B)$" pero $P(A\cup B)$ ya es dato; el valor nuevo es $P(A\cap B)=\tfrac5{11}$.)