Resolución paso a paso

Matemáticas

País Vasco · 2021 · Convocatoria ordinaria

Examen del País Vasco (EAU 2021, ordinaria): cinco partes de 2,5 puntos; se responden cuatro y en cada una se elige un ejercicio. Aquí se resuelven todos.

Primera parte · Ejercicio A1 (sistema con parámetro $\alpha$)

$$\begin{cases}\alpha x-y+z=1\\3x-y+\alpha z=\alpha\\x+(\alpha-1)z=1\end{cases}$$

Discusión.

$$|A|=\begin{vmatrix}\alpha&-1&1\\3&-1&\alpha\\1&0&\alpha-1\end{vmatrix}=-\alpha(\alpha-1)+(2\alpha-3)+1=-(\alpha-1)(\alpha-2)$$

• $\alpha\neq1,\,2$: compatible determinado.
• $\alpha=1$: el sistema es $x-y+z=1$, $3x-y+z=1$, $x=1$. Restando las dos primeras: $2x=0\Rightarrow x=0$, que contradice $x=1$: incompatible.
• $\alpha=2$: la fila 2 es la suma de las filas 1 y 3 (también en el término independiente: $1+1=2$): rango$(A)$ = rango$(A^*)=2<3$: compatible indeterminado.

Resolución para $\alpha=3$: $3x-y+z=1$, $3x-y+3z=3$, $x+2z=1$. Restando las dos primeras: $2z=2\Rightarrow z=1$; entonces $x=1-2z=-1$ y $-3-y+1=1\Rightarrow y=-3$:

$$(x,y,z)=(-1,\,-3,\,1)$$

Primera parte · Ejercicio B1 (matriz con parámetro $\alpha$)

$A=\begin{pmatrix}2&3&\alpha\\1&\alpha&1\\0&\alpha&-1\end{pmatrix}$.

Segunda parte · Ejercicio A2

$A=(1,a,-1)$, $B=(b,1,1)$ y $\pi:\ x+y-2z=2b$ (normal $\vec n=(1,1,-2)$). $\overrightarrow{AB}=(b-1,\,1-a,\,2)$.

Segunda parte · Ejercicio B2

$P(-2,1,0)$ y $r:\ (1-2t,\ 1+t,\ t)$ con $\vec d=(-2,1,1)$. El punto de corte $Q$ cumple $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec d=0$:

$$\overrightarrow{PQ}=(3-2t,\ t,\ t),\qquad(3-2t)(-2)+t+t=6t-6=0\Rightarrow t=1,\quad Q=(-1,2,1)$$

La recta pedida pasa por $P$ con dirección $\overrightarrow{PQ}=(1,1,1)$:

$$\begin{cases}x=-2+s\\y=1+s\\z=s\end{cases}\quad s\in\mathbb{R}\qquad\text{y}\qquad d(P,Q)=\sqrt3$$

Tercera parte · Ejercicio A3 ($f(x)=5+8x^2-x^4$)

$$f'(x)=16x-4x^3=4x(2-x)(2+x)$$

Extremos: máximos en $x=\pm2$ con $f(\pm2)=5+32-16=21$; mínimo en $x=0$, $f(0)=5$.

Gráfica. Es una función par: parte de $-\infty$ en $-\infty$, sube hasta el máximo $(-2,21)$, baja al mínimo $(0,5)$, vuelve a subir al máximo $(2,21)$ y cae hacia $-\infty$. Corta al eje $X$ en $x=\pm\sqrt{4+\sqrt{21}}\approx\pm2{,}93$ y al eje $Y$ en $(0,5)$.

Tercera parte · Ejercicio B3 ($f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+A$)

Cuarta parte · Ejercicio A4

Recinto. $f=\tfrac1x$, $g=x^2$ y $h=\tfrac{x^2}8$ en el primer cuadrante. Cortes: $f=g$ en $x=1$ (punto $(1,1)$); $f=h$ en $x^3=8$, es decir, $x=2$ (punto $\left(2,\tfrac12\right)$). El recinto finito queda por encima de $h$ y por debajo de la menor de $g$ y $f$: de $x=0$ a $x=1$ su techo es $y=x^2$ y de $x=1$ a $x=2$ es $y=\tfrac1x$.

$$\text{Área}=\int_0^1\left(x^2-\frac{x^2}8\right)dx+\int_1^2\left(\frac1x-\frac{x^2}8\right)dx=\frac7{24}+\Big[\ln x-\frac{x^3}{24}\Big]_1^2=\frac7{24}+\ln2-\frac7{24}=\boxed{\ln2\ \text{u}^2}$$

Cuarta parte · Ejercicio B4

$I=\displaystyle\int(x+2)\sin(2x)\,dx$, por partes ($u=x+2$, $dv=\sin2x\,dx$):

$$I=-\frac{(x+2)\cos2x}{2}+\frac12\int\cos2x\,dx=-\frac{(x+2)\cos2x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$$

$J=\displaystyle\int\frac{x+7}{x^2-4x-5}\,dx$, descomposición en fracciones simples: $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$ y $\dfrac{x+7}{(x-5)(x+1)}=\dfrac{A}{x-5}+\dfrac B{x+1}$ con $A=\dfrac{12}{6}=2$ y $B=\dfrac{6}{-6}=-1$:

$$J=2\ln|x-5|-\ln|x+1|+C$$

Quinta parte · Ejercicio A5 (medicamentos)

Lote: A el $80\,\%$, I el $10\,\%$, M el $10\,\%$; caducados: A $10\,\%$, I $20\,\%$, M $5\,\%$.

Quinta parte · Ejercicio B5 (cumpleaños el día del patrón)

Se supone que cada persona cumple años el día del patrón con probabilidad $p=\tfrac1{365}$. $X\sim\text{Bin}\!\left(3900,\tfrac1{365}\right)$ con $\mu=np=10{,}69$ y $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=3{,}26$. Se aproxima por la normal con corrección de continuidad.