Resolución paso a paso
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
Este examen es de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II (Navarra, PAU 2022, ordinaria); se eligen tres de los seis ejercicios y aquí se resuelven todos.
Ejercicio 1 · Matrices
$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-3&1&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}3&1&5\\-2&4&1\end{pmatrix}$.
i) $A\cdot B^t$ y su inversa.
$$A\cdot B^t=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-3&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\1&4\\5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-8\\-13&9\end{pmatrix}$$
Su determinante es $5\cdot9-(-8)(-13)=45-104=-59\neq0$, así que sí tiene inversa (es una matriz regular).
ii) Sistema matricial $\begin{cases}2X-3Y=A\\3X-2Y=B\end{cases}$. Multiplicando la primera por 3 y la segunda por 2 y restando: $5Y=2B-3A$. Multiplicando la primera por 2 y la segunda por 3 y restando: $5X=3B-2A$.
$$X=\frac{3B-2A}5=\frac15\begin{pmatrix}5&5&15\\0&10&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&3\\0&2&1\end{pmatrix}$$
$$Y=\frac{2B-3A}5=\frac15\begin{pmatrix}0&5&10\\5&5&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&1&1\end{pmatrix}$$
(Comprobación: $2X-3Y=A$ y $3X-2Y=B$.)
Ejercicio 2 · Programación lineal (carteras de inversión)
Sean $x$ euros en la cartera C1 (7 %) e $y$ euros en la C2 (4 %).
i) Planteamiento.
Se invierte entre el 20 % y el 50 % de 20 000 € (entre 4000 y 10 000), como máximo 8000 en C1, al menos 3000 en C2, y en C2 una cantidad igual o superior a la de C1:
$$\max\ B=0{,}07x+0{,}04y\quad\text{sujeto a}\quad\begin{cases}4000\leq x+y\leq10\,000\\x\leq8000,\quad y\geq3000\\y\geq x,\quad x\geq0\end{cases}$$
ii) Resolución gráfica. La región factible es un polígono (con $x\geq0$, $y\geq3000$, $y\geq x$ y $4000\leq x+y\leq10\,000$; la restricción $x\leq8000$ no actúa porque $y\geq x$ y $x+y\leq10\,000$ ya obligan a $x\leq5000$) con vértices
| Vértice | Beneficio $0{,}07x+0{,}04y$ |
|---|---|
| $(0,\ 4000)$ | $160$ |
| $(1000,\ 3000)$ | $190$ |
| $(3000,\ 3000)$ | $330$ |
| $(5000,\ 5000)$ | $550$ |
| $(0,\ 10\,000)$ | $400$ |
El máximo está en $(5000,5000)$: 5000 € en cada cartera, con una rentabilidad de 550 €.
iii) Si $x\leq2500$. La región queda con vértices $(0,4000)$, $(1000,3000)$, $(2500,3000)$, $(2500,7500)$ y $(0,10\,000)$, con beneficios $160$, $190$, $295$, $475$ y $400$. El máximo pasa a $(2500,\,7500)$: 2500 € en C1 y 7500 € en C2, con 475 € de rentabilidad (menos que antes, por asumir menos riesgo).
Ejercicio 3 · $f(x)=\dfrac{x}{x^2-4}$
i) Continuidad.
$f$ es continua en $\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$. En $x=\pm2$ el denominador se anula y el numerador no ($\pm2$), así que hay discontinuidades de salto infinito (asíntotas verticales $x=-2$ y $x=2$).
ii) Tangente en $x=1$.
$$f'(x)=\frac{(x^2-4)-x\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2}\ \Rightarrow\ f(1)=-\tfrac13,\quad f'(1)=-\tfrac59$$
$$y+\tfrac13=-\tfrac59(x-1)\ \Rightarrow\ \boxed{y=-\tfrac59x+\tfrac29}$$
iii) Integral.
$$\int\frac{x}{x^2-4}\,dx=\frac12\ln\left|x^2-4\right|+C$$
Ejercicio 4 · $f(x)=x(x-3)^2$
i) Cortes con los ejes.
Con $OY$: $(0,0)$. Con $OX$: $x=0$ y $x=3$ (doble): $(0,0)$ y $(3,0)$.
ii) Extremos y monotonía. $f'(x)=(x-3)^2+2x(x-3)=3(x-3)(x-1)$.
- Creciente en $(-\infty,1)$ y en $(3,+\infty)$; decreciente en $(1,3)$.
- Máximo relativo en $(1,4)$ y mínimo relativo en $(3,0)$.
iii) Recinto. La curva sube desde el origen hasta $(1,4)$, baja hasta $(3,0)$ y queda por encima del eje $OX$ entre $x=0$ y $x=3$: el recinto es la "joroba" entre la curva y el eje en $[0,3]$.
iv) Área.
$$\int_0^3x(x-3)^2dx=\int_0^3(x^3-6x^2+9x)\,dx=\Big[\tfrac{x^4}4-2x^3+\tfrac{9x^2}2\Big]_0^3=\tfrac{81}4-54+\tfrac{81}2=\frac{27}{4}=6{,}75\ \text{u}^2$$
Ejercicio 5 · Productos y empresas de transporte
Trans ($60\,\%$ de las ventas): A $20\,\%$, B $50\,\%$, C $30\,\%$. Logis ($40\,\%$): A $40\,\%$, B $35\,\%$, C $25\,\%$.
i)
$P(B\cap\text{Trans})=0{,}6\cdot0{,}5=\mathbf{0{,}30}$.
ii) $P(C)=0{,}6\cdot0{,}3+0{,}4\cdot0{,}25=0{,}18+0{,}10=0{,}28$:
$$P(\text{Logis}\mid C)=\frac{0{,}10}{0{,}28}=\frac5{14}\approx\mathbf{0{,}357}$$
iii) Trans repartió $0{,}6\cdot1500=900$ de las 1500 ventas. Sin reemplazamiento:
$$P=\frac{900}{1500}\cdot\frac{899}{1499}\approx0{,}6\cdot0{,}5997\approx\mathbf{0{,}360}$$
Ejercicio 6 · Intervalo de confianza
Consumo $X\sim N(\mu,\sigma)$ con $\sigma^2=400$, es decir, $\sigma=20$. Muestra de $n=64$ con suma $17\,280$, luego $\bar x=\dfrac{17\,280}{64}=270$ kWh.
i) Intervalo al 92 %.
$1-\alpha=0{,}92\Rightarrow\dfrac\alpha2=0{,}04\Rightarrow\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}96\Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$. El error máximo es
$$E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}=1{,}75\cdot\frac{20}{8}=4{,}375$$
$$IC=\bar x\pm E=(270-4{,}375,\ 270+4{,}375)=\boxed{(265{,}625;\ 274{,}375)\ \text{kWh}}$$
ii) Error máximo a la mitad. $E'=\dfrac E2=2{,}1875$. De $E'=z_{\alpha/2}\dfrac\sigma{\sqrt{n'}}$:
$$n'=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E'}\right)^2=\left(\frac{1{,}75\cdot20}{2{,}1875}\right)^2=16^2=\boxed{256}$$
(Para reducir el error a la mitad hay que multiplicar el tamaño de la muestra por 4.)