Resolución paso a paso
Matemáticas
Prueba de acceso de la Comunitat Valenciana (convocatoria ordinaria 2026, «extra»). Cada pregunta vale 2,5 puntos; en las preguntas 2, 3 y 4 se elige entre X.1 y X.2. Aquí se resuelven todas las opciones.
Pregunta 1 · Probabilidad y estadística (juego de la moneda y el dado)
Sean $C$ «sale cara», $X$ «sale cruz» y $G$ «el alumno gana la ronda». Del enunciado: $P(C)=P(X)=\tfrac12$. Con cara se gana si el dado da 5 o 6, así que $P(G\mid C)=\tfrac26=\tfrac13$; con cruz se gana si sale par (2, 4 o 6), así que $P(G\mid X)=\tfrac36=\tfrac12$.
1.1) Probabilidad de ganar una ronda (0,5 puntos).
Se aplica el teorema de la probabilidad total, separando según el resultado de la moneda:
$$P(G)=P(C)\,P(G\mid C)+P(X)\,P(G\mid X)=\frac12\cdot\frac13+\frac12\cdot\frac12=\frac16+\frac14=\frac{5}{12}\approx 0{,}417$$
1.2) Probabilidad de que fuera cara sabiendo que ha ganado (1 punto).
Es una probabilidad condicionada «al revés»: se usa el teorema de Bayes.
$$P(C\mid G)=\frac{P(C)\,P(G\mid C)}{P(G)}=\frac{\frac12\cdot\frac13}{\frac{5}{12}}=\frac{1/6}{5/12}=\frac{2}{5}=0{,}4$$
1.3) Moneda siempre cara y 7 rondas: ganar exactamente 5 (1 punto).
Con la moneda trucada, en cada ronda solo importa el dado: se gana con probabilidad $p=\tfrac13$ (sale 5 o 6), y las rondas son independientes. El número de rondas ganadas $Y$ sigue una binomial $B\!\left(7,\tfrac13\right)$:
$$P(Y=5)=\binom75\left(\frac13\right)^5\left(\frac23\right)^2=21\cdot\frac{1}{243}\cdot\frac49=\frac{84}{2187}=\frac{28}{729}\approx 0{,}0384$$
Pregunta 2 · Álgebra, opción 2.1 (sistema con parámetro $\alpha$)
El sistema es $\alpha x+y-z=0,\; x+\alpha y+z=1,\; -x+y+\alpha z=2$, con matriz de coeficientes
$$A=\begin{pmatrix}\alpha&1&-1\\1&\alpha&1\\-1&1&\alpha\end{pmatrix}.$$
2.1.1) Discusión según $\alpha$ (1 punto).
Se calcula el determinante de $A$ (desarrollando por la primera fila):
$$|A|=\alpha(\alpha^2-1)-1\cdot(\alpha+1)+(-1)(1+\alpha)=\alpha^3-3\alpha-2=(\alpha-2)(\alpha+1)^2$$
- Si $\alpha\neq2$ y $\alpha\neq-1$: $|A|\neq0$, el rango de $A$ y de la ampliada es 3 y el sistema es compatible determinado.
- Si $\alpha=2$: $\operatorname{rg}A=2$ (el menor $\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\neq0$ y $|A|=0$). En la ampliada, $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\-1&1&2\end{vmatrix}=3\neq0$, luego $\operatorname{rg}=3$. Incompatible.
- Si $\alpha=-1$: la 2.ª ecuación es $x-y+z=1$ y la 1.ª es $-x+y-z=0$, es decir $x-y+z=0$. Contradicción: incompatible.
2.1.2) Solución cuando es compatible (1,5 puntos).
Solo ocurre para $\alpha\neq2,-1$. Por la regla de Cramer, con $|A|=(\alpha-2)(\alpha+1)^2$:
$$x=\frac{\begin{vmatrix}0&1&-1\\1&\alpha&1\\2&1&\alpha\end{vmatrix}}{|A|}=\frac{\alpha+1}{(\alpha-2)(\alpha+1)^2}=\frac{1}{(\alpha-2)(\alpha+1)}$$
$$y=\frac{\begin{vmatrix}\alpha&0&-1\\1&1&1\\-1&2&\alpha\end{vmatrix}}{|A|}=\frac{(\alpha-3)(\alpha+1)}{(\alpha-2)(\alpha+1)^2}=\frac{\alpha-3}{(\alpha-2)(\alpha+1)}$$
$$z=\frac{\begin{vmatrix}\alpha&1&0\\1&\alpha&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}{|A|}=\frac{(2\alpha-3)(\alpha+1)}{(\alpha-2)(\alpha+1)^2}=\frac{2\alpha-3}{(\alpha-2)(\alpha+1)}$$
Comprobación con $\alpha=0$: $(x,y,z)=\left(-\tfrac12,\tfrac32,\tfrac32\right)$ cumple $y-z=0$, $x+z=1$ y $-x+y=2$.
Pregunta 2 · Álgebra, opción 2.2 (matriz de simulación)
Con $A=\begin{pmatrix}1-a&1\\1&1+a\end{pmatrix}$:
2.2.1) Valores de $a$ con $A^2-I=2A$ (1 punto).
Se calcula $A^2$:
$$A^2=\begin{pmatrix}(1-a)^2+1&(1-a)+(1+a)\\(1-a)+(1+a)&1+(1+a)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2-2a+2&2\\2&a^2+2a+2\end{pmatrix}$$
Entonces $A^2-I=\begin{pmatrix}a^2-2a+1&2\\2&a^2+2a+1\end{pmatrix}$ y $2A=\begin{pmatrix}2-2a&2\\2&2+2a\end{pmatrix}$. Igualando entradas: los elementos de la diagonal dan $a^2-2a+1=2-2a$ y $a^2+2a+1=2+2a$, que son la misma ecuación, $a^2=1$; los demás elementos coinciden ($2=2$). Por tanto $a=1$ o $a=-1$.
2.2.2) Valores de $a$ con $A$ invertible y matriz inversa (1,5 puntos).
Una matriz es invertible si y solo si su determinante no es nulo:
$$|A|=(1-a)(1+a)-1=-a^2\neq0\iff a\neq0$$
Para $a\neq0$ la inversa es la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante:
$$A^{-1}=\frac{1}{-a^2}\begin{pmatrix}1+a&-1\\-1&1-a\end{pmatrix}=\frac{1}{a^2}\begin{pmatrix}-1-a&1\\1&a-1\end{pmatrix}$$
Comprobación con $a=1$: $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}$ y $A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\1&0\end{pmatrix}$, cuyo producto es $I$.
Pregunta 3 · Geometría, opción 3.1 (dos rectas con parámetro $a$)
Las rectas son $r:\ 2x+y=a,\ z=1$ y $s:\ -x+2y+2z=5,\ x+z=a$.
3.1.1) Posición relativa según $a$ (1 punto).
Se pasan a paramétricas. En $r$, con $x=t$: $(x,y,z)=(t,\;a-2t,\;1)$, de modo que pasa por $P_r=(0,a,1)$ con dirección $\vec d_r=(1,-2,0)$. En $s$, con $x=u$: $z=a-u$ y $y=\tfrac{5-2a+3u}{2}$, así que pasa por $P_s=\left(0,\tfrac{5-2a}{2},a\right)$ con dirección $\vec d_s=\left(1,\tfrac32,-1\right)\parallel(2,3,-2)$.
Las direcciones no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Se decide con el determinante de $\vec d_r$, $\vec d_s$ y $\overrightarrow{P_rP_s}=\left(0,\tfrac{5-4a}{2},a-1\right)$:
$$\begin{vmatrix}1&-2&0\\2&3&-2\\0&\frac{5-4a}{2}&a-1\end{vmatrix}=(2-a)+2(2a-2)=3a-2$$
- Si $a\neq\tfrac23$: el determinante no es cero y las rectas se cruzan.
- Si $a=\tfrac23$: el determinante es cero y las rectas se cortan en un punto.
3.1.2) Valor de $a$ y punto de corte (1 punto).
Se cortan para $a=\tfrac23$. El punto de corte está en $r$, así que $z=1$, y en $s$, así que $x+z=\tfrac23$; luego $x=-\tfrac13$. Entonces en $r$, $y=a-2x=\tfrac23+\tfrac23=\tfrac43$:
$$P=\left(-\tfrac13,\ \tfrac43,\ 1\right)$$
Comprobación en $s$: $-x+2y+2z=\tfrac13+\tfrac83+2=5$ y $x+z=\tfrac23=a$.
3.1.3) Distancia del origen a $P$ (0,5 puntos).
$$d(O,P)=\sqrt{\tfrac19+\tfrac{16}{9}+1}=\sqrt{\tfrac{26}{9}}=\frac{\sqrt{26}}{3}\approx1{,}70$$
Pregunta 3 · Geometría, opción 3.2 (plano y recta)
El plano es $\pi:\ 2x+y-3=0$ (normal $\vec n=(2,1,0)$) y la recta $r$ pasa por $A=(1,-1,1)$ con dirección $\vec d=(1,-2,0)$. Como $\vec d\cdot\vec n=2-2=0$ y $A\notin\pi$ ($2-1-3\neq0$), la recta es paralela al plano pero no está contenida en él.
3.2.1) Plano $\pi'$ perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$ (1,25 puntos).
Debe contener a $A$ y ser paralelo a las direcciones $\vec d$ y $\vec n$ (porque es perpendicular a $\pi$, contiene la dirección de su normal). Su normal es
$$\vec d\times\vec n=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-2&0\\2&1&0\end{vmatrix}=(0,0,5)\parallel(0,0,1)$$
y como pasa por $A$ (cuya cota es 1): $\pi':\ z=1$.
3.2.2) Plano $\pi''$ paralelo a $\pi$ que contiene a $r$ (1,25 puntos).
Un plano paralelo a $\pi$ es $2x+y+D=0$. Imponiendo que pase por $A=(1,-1,1)$: $2-1+D=0\Rightarrow D=-1$. Comprobación: un punto genérico de $r$, $(1+\alpha,-1-2\alpha,1)$, cumple $2(1+\alpha)+(-1-2\alpha)-1=0$. Existe y es
$$\pi'':\ 2x+y-1=0$$
Pregunta 4 · Análisis, opción 4.1 (valor absoluto de una parábola)
Se trabaja con $f(x)=\left|2x^2-3\right|$ en $[-1,5]$. Como $2x^2-3=0$ en $x=\pm\sqrt{3/2}=\pm\tfrac{\sqrt6}{2}\approx\pm1{,}225$ y solo $c=\sqrt{3/2}\approx1{,}225$ está en el intervalo, la función es
$$f(x)=\begin{cases}3-2x^2,&-1\le x\le c\\ 2x^2-3,&c\le x\le5\end{cases}$$
4.1.1) Crecimiento y decrecimiento (0,75 puntos).
En el primer trozo $f'(x)=-4x$: positiva si $x<0$ y negativa si $x>0$. En el segundo, $f'(x)=4x>0$. Por tanto:
- Crece en $[-1,0]$ y en $\left[\sqrt{3/2},\,5\right]$.
- Decrece en $\left[0,\sqrt{3/2}\right]$.
4.1.2) Máximos y mínimos absolutos (0,5 puntos).
Se comparan los valores en los extremos y en los puntos singulares: $f(-1)=1$, $f(0)=3$ (máximo relativo), $f(\sqrt{3/2})=0$ y $f(5)=47$. El mínimo absoluto es 0, en $x=\sqrt{3/2}$ (un valor absoluto nunca es negativo), y el máximo absoluto es 47, en $x=5$.
4.1.3) Representación (0,25 puntos).
Es un trozo de la parábola $y=3-2x^2$ (cóncava) desde $(-1,1)$ hasta el vértice $(0,3)$ y hasta el punto $\left(\sqrt{3/2},0\right)$, donde tiene un pico (no derivable); desde ahí, la rama de $y=2x^2-3$ crece hasta $(5,47)$. Puntos clave: $(-1,1)$, $(0,3)$, $\left(\sqrt{3/2},0\right)$, $(5,47)$.
4.1.4) Área del recinto (1 punto).
El área es la integral de $f$ en $[-1,5]$, partida en $c$. Con $F(x)=3x-\tfrac23x^3$ (primitiva de $3-2x^2$), la primitiva de $2x^2-3$ es $-F$:
$$A=\int_{-1}^{c}(3-2x^2)\,dx+\int_{c}^{5}(2x^2-3)\,dx=\big[F(c)-F(-1)\big]+\big[-F(5)+F(c)\big]=2F(c)-F(-1)-F(5)$$
Como $c^2=\tfrac32$: $F(c)=c\left(3-\tfrac23\cdot\tfrac32\right)=2c=\sqrt6$; además $F(-1)=-3+\tfrac23=-\tfrac73$ y $F(5)=15-\tfrac{250}{3}=-\tfrac{205}{3}$. Entonces
$$A=2\sqrt6+\frac73+\frac{205}{3}=2\sqrt6+\frac{212}{3}\approx75{,}57\ \text{u}^2$$
Pregunta 4 · Análisis, opción 4.2 (comedero semicilíndrico)
4.2.1) Volumen en función de $r$ (1 punto).
El comedero abierto por arriba tiene dos paredes semicirculares (área $2\cdot\tfrac12\pi r^2=\pi r^2$) y una superficie lateral curva (la mitad de un cilindro: $\pi rL$). El área total es $600\pi$:
$$\pi rL+\pi r^2=600\pi\ \Longrightarrow\ L=\frac{600-r^2}{r}$$
El volumen es el área de la base semicircular por la longitud:
$$V(r)=\frac{\pi r^2}{2}\,L=\frac{\pi r^2}{2}\cdot\frac{600-r^2}{r}=\frac{\pi}{2}\left(600r-r^3\right),\qquad 0<r<\sqrt{600}$$
4.2.2) Radio y longitud que maximizan el volumen (1,5 puntos).
Se deriva e iguala a cero:
$$V'(r)=\frac{\pi}{2}\left(600-3r^2\right)=0\ \Longrightarrow\ r^2=200\ \Longrightarrow\ r=10\sqrt2\approx14{,}14\ \text{cm}$$
Es un máximo porque $V''(r)=-3\pi r<0$. La longitud correspondiente es
$$L=\frac{600-200}{10\sqrt2}=\frac{40}{\sqrt2}=20\sqrt2\approx28{,}28\ \text{cm}$$
y el volumen máximo es
$$V=\frac{\pi}{2}\left(600\cdot10\sqrt2-2000\sqrt2\right)=\frac{\pi}{2}\cdot4000\sqrt2=2000\sqrt2\,\pi\approx8886\ \text{cm}^3$$