Resolución paso a paso
Física
En cada apartado se elige una pregunta (A o B); se resuelven todas. Constantes: $G=6{,}67\cdot10^{-11}$, $M_T=5{,}97\cdot10^{24}$ kg, $k=9\cdot10^{9}$ (SI).
Apartado 1 · Campo gravitatorio
Pregunta 1.A: Spainsat NG II
Órbita circular de radio $r=5\cdot10^{7}$ m (50 000 km) y masa $m=6100$ kg.
a) Velocidad.
La gravedad es la fuerza centrípeta: $\dfrac{GM_Tm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$.
$$v=\sqrt{\frac{GM_T}{r}}=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{5\cdot10^{7}}}\approx2{,}82\cdot10^{3}\ \text{m/s}$$
b) Energía mecánica.
$$E=-\frac{GM_Tm}{2r}=-\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot6100}{2\cdot5\cdot10^{7}}\approx-2{,}43\cdot10^{10}\ \text{J}$$
c) Órbita geoestacionaria ($T=24$ h).
De la tercera ley de Kepler, $r_g=\sqrt[3]{\dfrac{GM_TT^2}{4\pi^2}}$:
$$r_g=\sqrt[3]{\frac{3{,}98\cdot10^{14}\cdot(86400)^2}{4\pi^2}}\approx4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m},\qquad v_g=\sqrt{\frac{GM_T}{r_g}}\approx3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$$
Pregunta 1.B: la Luna en el eclipse
En el eclipse, la Luna está entre la Tierra y el Sol. En el perigeo, la distancia Tierra–Luna es $r_p=3{,}633\cdot10^{8}$ m y la distancia Luna–Sol es $d=1{,}5\cdot10^{11}-3{,}633\cdot10^{8}\approx1{,}4964\cdot10^{11}$ m.
a) Fuerza neta.
Las dos fuerzas son atractivas y de sentidos opuestos (Tierra y Sol están a lados contrarios de la Luna):
$$F_T=\frac{GM_TM_L}{r_p^2}=2{,}22\cdot10^{20}\ \text{N},\qquad F_S=\frac{GM_SM_L}{d^2}=4{,}36\cdot10^{20}\ \text{N}$$
$$F_{neta}=F_S-F_T\approx2{,}14\cdot10^{20}\ \text{N}\quad\text{hacia el Sol}$$
b) Punto de velocidad mínima.
En el apogeo (el punto más lejano de la Tierra). La fuerza gravitatoria es central, por lo que se conserva el momento angular, $L=m\,r\,v=\text{cte}$ en perigeo y apogeo (2.ª ley de Kepler): cuanto mayor es $r$, menor es $v$.
c) Velocidad máxima (en el perigeo).
Con $v_{apogeo}=3470$ km/h $=963{,}9$ m/s:
$$r_p\,v_p=r_a\,v_a\;\Rightarrow\;v_p=v_a\frac{r_a}{r_p}=963{,}9\cdot\frac{405000}{363300}\approx1{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}\;(\approx3870\ \text{km/h})$$
Apartado 2 · Campo electromagnético
Pregunta 2.A: partícula de polvo
a) Diferencia de potencial.
Sin gravedad, el trabajo del campo es la energía cinética ganada: $q\,\Delta V=\tfrac12mv^2$.
$$\Delta V=\frac{mv^2}{2q}=\frac{10^{-9}\cdot100}{2\cdot1{,}5\cdot10^{-12}}\approx3{,}33\cdot10^{4}\ \text{V}$$
b) Fuerza eléctrica.
Campo uniforme: $E=\dfrac{\Delta V}{h}=\dfrac{3{,}33\cdot10^{4}}{1{,}7}=1{,}96\cdot10^{4}$ V/m.
$$F=qE=1{,}5\cdot10^{-12}\cdot1{,}96\cdot10^{4}\approx2{,}9\cdot10^{-8}\ \text{N}$$
c) Carga de signo contrario.
Con $q'=-1{,}5\cdot10^{-12}$ C, el campo la empujaría hacia abajo; llevarla hasta la cabeza requiere un trabajo externo positivo: $W=|q'|\,\Delta V=1{,}5\cdot10^{-12}\cdot3{,}33\cdot10^{4}=5{,}0\cdot10^{-8}$ J.
d) Fuerza total con el campo magnético ($B=5\cdot10^{-5}$ T, horizontal).
- En el suelo la partícula está en reposo: $F_{mag}=qvB=0$. Fuerza total $=F_e\approx2{,}9\cdot10^{-8}$ N.
- En la cabeza ($v=10$ m/s, vertical, perpendicular a $\vec B$): $F_{mag}=qvB=1{,}5\cdot10^{-12}\cdot10\cdot5\cdot10^{-5}=7{,}5\cdot10^{-16}$ N. La fuerza total es $\sqrt{F_e^2+F_{mag}^2}\approx2{,}9\cdot10^{-8}$ N (la magnética es unos $10^{8}$ veces menor).
e) Dibujo.
Fuerza eléctrica vertical hacia arriba (acelera a la partícula). Fuerza magnética horizontal y perpendicular a $\vec v$ y a $\vec B$: con $\vec v$ hacia arriba y $\vec B$ hacia el norte, $\vec v\times\vec B$ apunta al oeste. La eléctrica sube a la partícula; la magnética apenas la desvía lateralmente.
Pregunta 2.B: cargas $+4$ nC y $-4$ nC separadas 6 cm
a) Punto de la mediatriz a 5 cm de cada carga.
Distancia del punto al centro: $\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm. Cada campo vale $E_1=\dfrac{kq}{r^2}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-9}}{0{,}05^2}=14400$ N/C. Las componentes perpendiculares a la recta que une las cargas se anulan y las paralelas se suman ($\cos\theta=\tfrac35$):
$$E=2\cdot14400\cdot0{,}6=1{,}73\cdot10^{4}\ \text{N/C}$$
dirigido paralelo a la línea que une las cargas, de la positiva a la negativa. Potencial: $V=\dfrac{kq}{r}-\dfrac{kq}{r}=0$.
b) Trabajo para llevar $-2$ nC al punto medio.
En el punto medio, $V=\dfrac{kq}{0{,}03}-\dfrac{kq}{0{,}03}=0$. Como el potencial es $0$ en ambos puntos, $W=q\,\Delta V=0$: trabajo nulo.
Espira que entra en un campo ($L=0{,}5$ m, $R=0{,}2\ \Omega$, $B=0{,}8$ T, $v=10$ m/s).
a)
fem: $\varepsilon=B\,L\,v=0{,}8\cdot0{,}5\cdot10=4$ V. Corriente: $I=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{4}{0{,}2}=20$ A.
b)
Por la ley de Lenz, la corriente se opone al aumento del flujo: si $\vec B$ entra en el papel, la corriente es antihoraria; si sale, horaria. La fuerza sobre el lado delantero es $F=ILB=20\cdot0{,}5\cdot0{,}8=8$ N y apunta contra el movimiento (es la fuerza de frenado).
Apartado 3 · Vibraciones y ondas
Pregunta 3.A: móvil en modo vibración
$m=0{,}020$ kg, $k=80$ N/m, $A=2{,}0\cdot10^{-3}$ m.
a)
$\omega=\sqrt{\dfrac km}=\sqrt{4000}=63{,}2$ rad/s; $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=10{,}1$ Hz; $T=\dfrac1f=0{,}0993$ s.
b)
$v_{max}=A\omega=2\cdot10^{-3}\cdot63{,}2=0{,}126$ m/s; $a_{max}=A\omega^2=2\cdot10^{-3}\cdot4000=8{,}0$ m/s².
c)
$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12\cdot80\cdot(2\cdot10^{-3})^2=1{,}6\cdot10^{-4}$ J.
Pregunta 3.B: tono del teléfono
a)
De $p(r,t)=A\operatorname{sen}(2000\pi t-kr)$: $\omega=2000\pi$ rad/s, de modo que $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=1000$ Hz. Longitud de onda: $\lambda=\dfrac vf=\dfrac{340}{1000}=0{,}34$ m. Número de onda: $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=18{,}5$ rad/m.
b)
Fuente puntual: $I=\dfrac{P}{4\pi r^2}=\dfrac{10^{-5}}{4\pi\cdot5^2}=3{,}18\cdot10^{-8}$ W/m². Nivel sonoro:
$$\beta=10\log\frac{I}{I_0}=10\log\frac{3{,}18\cdot10^{-8}}{10^{-12}}=45{,}0\ \text{dB}$$
(el enunciado pone $I_0=10^{12}$; se entiende $10^{-12}$ W/m²).
Apartado 4 · Óptica
Pregunta 4.A: fibra óptica ($n_1=1{,}50$, $n_2=1{,}48$)
a) Ángulo límite núcleo–revestimiento.
$\operatorname{sen}\theta_c=\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{1{,}48}{1{,}50}=0{,}987\Rightarrow\theta_c\approx80{,}6°$.
b) Ángulo máximo de entrada desde el aire.
Si el rayo entra con ángulo $\theta$ respecto al eje, se refracta con $\beta$ ($\operatorname{sen}\theta=n_1\operatorname{sen}\beta$) y llega a la pared con incidencia $90°-\beta$, que debe ser $\ge\theta_c$. En el límite $\cos\beta=\dfrac{n_2}{n_1}$, y entonces
$$\operatorname{sen}\theta_{max}=n_1\operatorname{sen}\beta=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{1{,}50^2-1{,}48^2}=0{,}244\;\Rightarrow\;\theta_{max}\approx14{,}1°$$
Pregunta 4.B: miopía
a)
El miope tiene el ojo demasiado «potente» (la imagen de objetos lejanos se forma delante de la retina). Se corrige con una lente divergente (potencia negativa): hace divergir los rayos que llegan del infinito y forma una imagen virtual más cercana, que el ojo sí puede enfocar en la retina.
b)
Potencia $P=-0{,}5$ D, así que $f'=\dfrac1P=-2{,}0$ m (distancia focal de las gafas: $-2$ m). Un objeto en el infinito forma con la lente una imagen virtual en el foco, a $2{,}0$ m: el punto lejano del paciente está a $2{,}0$ m (no ve nítido más allá sin gafas).
Apartado 5 · Física relativista
Partícula de $m_0=1$ mg $=10^{-6}$ kg a $v=0{,}6c$: $\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-0{,}36}}=1{,}25$.
a) Masa relativista:
$m=\gamma m_0=1{,}25$ mg $=1{,}25\cdot10^{-6}$ kg.
b) Energía suministrada
(energía cinética relativista):
$$K=(\gamma-1)m_0c^2=0{,}25\cdot10^{-6}\cdot(3\cdot10^{8})^2=2{,}25\cdot10^{10}\ \text{J}$$
c) Longitud de onda de De Broglie:
$p=\gamma m_0v=1{,}25\cdot10^{-6}\cdot0{,}6\cdot3\cdot10^{8}=225$ kg·m/s.
$$\lambda=\frac hp=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{225}\approx2{,}95\cdot10^{-36}\ \text{m}$$