Resolución paso a paso
Matemáticas
El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5); aquí se resuelven todas. Las preguntas 6 y 8 están parcialmente ilegibles en el texto extraído del PDF y lo indico donde ocurre.
Pregunta 1 · $f(x)=(e^{ax}+b)x-e$
a) Extremo relativo en $x=0$ y punto de inflexión en $x=2$.
$$f'(x)=(e^{ax}+b)+axe^{ax}=e^{ax}(1+ax)+b,\qquad f''(x)=ae^{ax}(2+ax)$$
- Extremo en $x=0$: $f'(0)=1+b=0\Rightarrow b=-1$.
- Inflexión en $x=2$: $f''(2)=ae^{2a}(2+2a)=0$ y $a\neq0\Rightarrow a=-1$. (Comprobación: con $a=-1$, $f''(x)=-e^{-x}(2-x)$ cambia de signo en $x=2$.)
$$\boxed{a=-1,\quad b=-1}$$
b) $\int xf(x)\,dx$ con $a=1$, $b=2$.
$f(x)=(e^x+2)x-e$:
$$\int x f(x)\,dx=\int\left(x^2e^x+2x^2-ex\right)dx$$
Por partes dos veces, $\int x^2e^xdx=e^x(x^2-2x+2)$. Entonces
$$\int xf(x)\,dx=e^x(x^2-2x+2)+\frac23x^3-\frac e2x^2+C$$
Pregunta 2 · Límite con parámetro
$L=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)-a\sin x+3x\cos2x}{x^2}$. El denominador tiende a 0, así que para que el límite sea finito el numerador también debe tender a 0 con orden al menos 2. Con desarrollos de Taylor:
$$\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}2+\dots,\quad\sin x=x-\dots,\quad3x\cos2x=3x-\dots$$
$$\text{Numerador}=(1-a+3)x-\tfrac{x^2}{2}+O(x^3)=(4-a)x-\tfrac{x^2}2+O(x^3)$$
Es finito si y solo si $4-a=0$, es decir, $a=4$, y entonces
$$L=\lim_{x\to0}\frac{-\tfrac{x^2}2+O(x^3)}{x^2}=-\frac12$$
(Con L'Hôpital: la derivada del numerador en 0 vale $1-a+3$, que debe ser 0; la segunda derivada del numerador en 0 vale $-1$ y la del denominador $2$.)
Pregunta 3 · Descomposición de $\sqrt3$
Sean $x$ y $\sqrt3-x$ los sumandos, con $0<x<\sqrt3$. La suma de logaritmos es $S(x)=\log_3x+\log_3(\sqrt3-x)=\log_3\big[x(\sqrt3-x)\big]$. Como $\log_3$ es creciente, $S$ es máxima cuando lo es el producto $P(x)=x(\sqrt3-x)=\sqrt3x-x^2$:
$$P'(x)=\sqrt3-2x=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt3}2,\qquad P''=-2<0\ (\text{máximo})$$
Los dos sumandos son iguales, $\dfrac{\sqrt3}2$ y $\dfrac{\sqrt3}2$, y el producto vale $\dfrac34$:
$$S_{\max}=\log_3\frac34=1-\log_34=1-2\log_32\approx-0{,}262$$
Pregunta 4 · $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-2x+1}=\dfrac{x^2}{(x-1)^2}$
a) Dominio y monotonía.
Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
$$f'(x)=\frac{2x(x-1)^2-x^2\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{2x(x-1)-2x^2}{(x-1)^3}=\frac{-2x}{(x-1)^3}$$
- $x<0$: $f'<0$, decreciente.
- $0<x<1$: $f'>0$, creciente.
- $x>1$: $f'<0$, decreciente.
(Mínimo relativo en $x=0$, $f(0)=0$.)
b) Curvatura.
Se deriva $f'(x)=-2x(x-1)^{-3}$:
$$f''(x)=-2(x-1)^{-3}+6x(x-1)^{-4}=\frac{-2(x-1)+6x}{(x-1)^4}=\frac{2(2x+1)}{(x-1)^4}$$
El denominador es positivo, así que el signo lo da $2x+1$:
- $x<-\tfrac12$: $f''<0$, cóncava ($\cap$).
- $x>-\tfrac12$ (con $x\neq1$): $f''>0$, convexa ($\cup$).
Hay un punto de inflexión en $x=-\tfrac12$: $f\!\left(-\tfrac12\right)=\dfrac{1/4}{9/4}=\dfrac19$, es decir, el punto $\left(-\tfrac12,\tfrac19\right)$.
Pregunta 5 · Matriz con parámetro $m$
$A=\begin{pmatrix}1&-1&m\\2&m&m+2\\m-1&2&1\end{pmatrix}$.
a) Rango.
$$|A|=1\,(m-2m-4)+1\,\big(2-(m^2+m-2)\big)+m\,(4-m^2+m)=2m-m^3=m(2-m^2)$$
- $m\neq0,\ \sqrt2,\ -\sqrt2$: $|A|\neq0$, rango 3.
- $m=0$, $m=\sqrt2$ o $m=-\sqrt2$: $|A|=0$ y el menor formado por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2, $\begin{vmatrix}1&-1\\2&m\end{vmatrix}=m+2$, vale $2$, $2+\sqrt2$ y $2-\sqrt2$ respectivamente, siempre $\neq0$: rango 2.
b) Inversa para $m=1$.
$A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&1&3\\0&2&1\end{pmatrix}$ y $|A|=1\cdot(2-1)=1$. Matriz de cofactores y adjunta:
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\,\text{adj}(A)=\begin{pmatrix}-5&3&-4\\-2&1&-1\\4&-2&3\end{pmatrix}$$
Comprobación: la primera fila de $A$ por las columnas de $A^{-1}$ da $(1,0,0)$; la segunda, $(0,1,0)$; la tercera, $(0,0,1)$.
Pregunta 6 · Determinante con una matriz al cuadrado
Se sabe que $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&0&5\\a&b&c\end{vmatrix}=\tfrac12$. Sean $u=(1,2,3)$, $v=(4,0,5)$ y $w=(a,b,c)$, de modo que $|u;v;w|=\tfrac12$. La matriz es $M^2$ con $M$ de filas
$$F_1=4w+2u,\qquad F_2=3w,\qquad F_3=w+v$$
(Se interpreta que el cuadrado afecta a la matriz entera: $4a+2=4a+2\cdot1$, $4b+4=4b+2\cdot2$, $4c+6=4c+2\cdot3$; $a+4=a+4$, $b=b+0$, $c+5=c+5$.)
- $F_1-\tfrac43F_2=2u$ y $F_3-\tfrac13F_2=v$ (restar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante). Entonces $|M|=|2u;\,3w;\,v|$.
- Se sacan los factores $2$ y $3$: $|M|=6\,|u;\,w;\,v|$.
- Intercambiar dos filas cambia el signo: $|u;w;v|=-|u;v;w|=-\tfrac12$.
$$|M|=6\cdot\left(-\tfrac12\right)=-3\ \Rightarrow\ |M^2|=|M|^2=\boxed{9}$$
Pregunta 7 · ONG con tres sedes
Sean $H$, $Z$ y $T$ los voluntarios de Huesca, Zaragoza y Teruel:
$$\begin{cases}H+Z+T=31\\H-3=Z+3\\H=Z+T+1\end{cases}$$
De la segunda, $H=Z+6$. En la tercera: $Z+6=Z+T+1\Rightarrow T=5$. En la primera: $(Z+6)+Z+5=31\Rightarrow Z=10$ y $H=16$.
$$\boxed{\text{Huesca }16,\quad\text{Zaragoza }10,\quad\text{Teruel }5}$$
Comprobación: $16+10+5=31$; $16-3=10+3$; $16=10+5+1$ ✓.
Pregunta 8 · Vectores linealmente independientes
Aviso. En el texto extraído del PDF no se puede leer con seguridad cómo se definen $\vec r$, $\vec s$ y $\vec t$ en función de $\vec u$, $\vec v$ y $\vec w$, ni la expresión que se pide en el apartado b), así que doy el método.
a)
Si $\{\vec u,\vec v,\vec w\}$ son independientes, forman una base. Se escribe cada uno de $\vec r,\vec s,\vec t$ en esa base y se forma la matriz $3\times3$ de sus coeficientes: $\{\vec r,\vec s,\vec t\}$ son linealmente independientes si el determinante de esa matriz es distinto de 0 y dependientes si es 0.
b)
El producto vectorial es bilineal y antisimétrico ($\vec x\times\vec x=\vec0$, $\vec x\times\vec y=-\vec y\times\vec x$). Se sustituyen $\vec r,\vec s,\vec t$ por sus expresiones, se desarrolla y se simplifica con esas propiedades (quedan combinaciones de $\vec u\times\vec v$, $\vec v\times\vec w$ y $\vec u\times\vec w$).
Pregunta 9 · Turistas que visitan Aragón
$X\sim\text{Bin}(7,\,0{,}35)$.
a) ¿Más probable 2 o 5?
$$P(X=2)=\binom72\,0{,}35^2\,0{,}65^5,\qquad P(X=5)=\binom75\,0{,}35^5\,0{,}65^2$$
Como $\binom72=\binom75=21$, el cociente es
$$\frac{P(X=2)}{P(X=5)}=\frac{0{,}35^2\cdot0{,}65^5}{0{,}35^5\cdot0{,}65^2}=\left(\frac{0{,}65}{0{,}35}\right)^3>1$$
(porque $0{,}65>0{,}35$). Es más probable que sean 2 los que visitaron Aragón que 5.
b) Que alguno de los 7 haya visitado Aragón.
$$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0{,}65^7\approx1-0{,}049=\mathbf{0{,}951}$$
Pregunta 10 · Club Ares
Sean $P$, $T$ y $F$ las modalidades (pádel 60 %, tenis 25 %, frontón-tenis 15 %) y $M$ «ganó medalla» ($21\,\%$, $30\,\%$ y $12\,\%$ respectivamente).
a) Probabilidad total.
$$P(M)=0{,}60\cdot0{,}21+0{,}25\cdot0{,}30+0{,}15\cdot0{,}12=0{,}126+0{,}075+0{,}018=\mathbf{0{,}219}$$
b) Bayes.
$$P(T\mid M)=\frac{0{,}25\cdot0{,}30}{0{,}219}=\frac{0{,}075}{0{,}219}\approx\mathbf{0{,}342}$$