Resolución paso a paso
Matemáticas
Examen de la Región de Murcia (EBAU 2021, junio): se responden cuatro cuestiones de ocho; aquí se resuelven todas. En las cuestiones 2 y 6 el PDF pierde signos (un menos en la ecuación $AX-B=C^t$ y en las coordenadas de $C$); restituyo los que cuadran con los criterios de corrección.
Cuestión 1 · Sistema con parámetro $a$
$$\begin{cases}ax+y+z=4\\x-ay+z=1\\x+y+z=a+2\end{cases}\qquad|A|=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&-a&1\\1&1&1\end{vmatrix}=1-a^2=(1-a)(1+a)$$
a) Solución única:
$a\neq1$ y $a\neq-1$.
b) Infinitas soluciones: $a=-1$.
El sistema es $-x+y+z=4$, $x+y+z=1$, $x+y+z=1$ (las dos últimas coinciden): rango 2 en $A$ y en $A^*$, un parámetro. Sumando las dos primeras: $y+z=\tfrac52$, y $x=1-\tfrac52=-\tfrac32$:
$$(x,y,z)=\left(-\tfrac32,\ \lambda,\ \tfrac52-\lambda\right),\qquad\lambda\in\mathbb{R}$$
c) Sin solución: $a=1$.
Las ecuaciones 1 y 3 son $x+y+z=4$ y $x+y+z=3$: contradictorias.
Cuestión 2 · Matrices
$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\1&2&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&1\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}-2&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$.
a) Inversa de $A$.
$|A|=1\cdot2-1\cdot0+1\cdot(0-1)=1\neq0$: es regular.
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}$$
(Comprobación: $AA^{-1}=I$.)
b) Ecuación $AX-B=C^t$
(lectura que cuadra con los criterios, que piden expresar $X$ con $A^{-1}$, $B$ y $C^t$): $AX=B+C^t\Rightarrow X=A^{-1}(B+C^t)$.
$$C^t=\begin{pmatrix}-2&1\\0&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad B+C^t=\begin{pmatrix}-1&1\\0&2\\3&2\end{pmatrix}$$
$$X=A^{-1}(B+C^t)=\begin{pmatrix}-5&0\\0&2\\4&-1\end{pmatrix}$$
(Comprobación: $AX-B=C^t$.)
Cuestión 3 · Lata de refresco
Radio $x$ y altura $y$. Material: tapas a 5 €/cm$^2$ y el resto a 3 €/cm$^2$.
a) Coste.
Área de las dos tapas: $2\pi x^2$; área lateral: $2\pi xy$.
$$C=5\cdot2\pi x^2+3\cdot2\pi xy=10\pi x^2+6\pi xy\quad\blacksquare$$
b) Volumen $90\pi$ cm$^3$.
$\pi x^2y=90\pi\Rightarrow y=\dfrac{90}{x^2}$. Entonces
$$C(x)=10\pi x^2+\frac{540\pi}{x},\qquad C'(x)=20\pi x-\frac{540\pi}{x^2}=0\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3$$
$C''(x)=20\pi+\dfrac{1080\pi}{x^3}>0$: mínimo. Dimensiones:
$$\boxed{\text{radio }3\ \text{cm},\quad\text{altura }y=\tfrac{90}9=10\ \text{cm}}$$
Coste mínimo: $C(3)=90\pi+180\pi=270\pi\approx848$ €.
Cuestión 4 · Límite e integral
a)
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\lim\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\lim\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0$.
b)
Por partes ($u=\ln x$, $dv=x^2dx$):
$$\int x^2\ln x\,dx=\frac{x^3}3\ln x-\int\frac{x^2}3\,dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C$$
La primitiva que pasa por $(1,0)$: $F(1)=-\tfrac19+C=0\Rightarrow C=\tfrac19$, es decir,
$$F(x)=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+\frac19$$
Cuestión 5 · Dos planos
$\pi_1:\ x-y+z=0$ y $\pi_2:\ x+y-z=2$.
a) Se cortan.
Las normales $(1,-1,1)$ y $(1,1,-1)$ no son proporcionales, así que se cortan en una recta. Sumando las ecuaciones: $2x=2\Rightarrow x=1$; entonces $z=y-1$. Con $y=t$:
$$r:\ (1,\ t,\ t-1)\qquad\text{(dirección }(0,1,1)\text{)}$$
b)
$A=(3,2,1)$: en $\pi_1$, $3-2+1=2\neq0$; en $\pi_2$, $3+2-1=4\neq2$. No está en ninguno. Plano del haz de $r$ que pasa por $A$: $(x-y+z)+\lambda(x+y-z-2)=0$ con $2+\lambda\cdot2=0\Rightarrow\lambda=-1$:
$$\boxed{\pi_3:\ y-z-1=0}\qquad(A:\ 2-1-1=0\ \checkmark;\ \ r:\ t-(t-1)-1=0\ \checkmark)$$
Cuestión 6 · Triángulo y plano
$A=(a,4,3)$, $B=(0,0,5)$, $C=(0,3,-1)$ (el PDF pierde el signo menos de la tercera coordenada de $C$; es la lectura con la que sale $a=\pm2$ de los criterios).
a) Ángulo recto en $A$.
$\overrightarrow{AB}=(-a,-4,2)$ y $\overrightarrow{AC}=(-a,-1,-4)$:
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a^2+4-8=0\ \Rightarrow\ a^2=4\ \Rightarrow\ \boxed{a=\pm2}$$
b) Plano por $A=(3,4,3)$ y $B$, paralelo a $r:\ \begin{cases}x-y+z=0\\2x+y=3\end{cases}$.
Dirección de $r$: $(1,-1,1)\times(2,1,0)=(-1,2,3)$. $\overrightarrow{AB}=(-3,-4,2)$. Normal del plano:
$$\overrightarrow{AB}\times(-1,2,3)=(-16,7,-10)\parallel(16,-7,10)$$
Por $B(0,0,5)$: $16x-7y+10(z-5)=0$:
$$\boxed{16x-7y+10z-50=0}$$
(Comprobación: $A$: $48-28+30-50=0$; y la normal es perpendicular a $(-1,2,3)$: $-16-14+30=0$.)
Cuestión 7 · Daltonismo
Hombres $50{,}5\,\%$ (daltónicos $10\,\%$) y mujeres $49{,}5\,\%$ (daltónicas $1\,\%$).
a)
$P(D)=0{,}505\cdot0{,}10+0{,}495\cdot0{,}01=0{,}0505+0{,}00495=\mathbf{0{,}05545}$.
b)
$P(\text{mujer}\mid D)=\dfrac{0{,}00495}{0{,}05545}\approx\mathbf{0{,}0893}$.
c)
$P(D)\cdot P(\text{mujer})=0{,}05545\cdot0{,}495\approx0{,}0274$, distinto de $P(D\cap\text{mujer})=0{,}00495$: los sucesos no son independientes.
Cuestión 8 · Velocidad de los vehículos
$X\sim N(\mu,10)$ y $P(X\leq130)=0{,}6915$.
a)
$\Phi(z)=0{,}6915\Rightarrow z=0{,}5$, luego $\dfrac{130-\mu}{10}=0{,}5\Rightarrow\boxed{\mu=125\ \text{km/h}}$.
b)
$P(X\leq120)=\Phi\!\left(\tfrac{120-125}{10}\right)=\Phi(-0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085$: el $30{,}85\,\%$ no sobrepasa el límite.
c)
Multa entre 120 y 150 km/h:
$$P(120<X<150)=\Phi(2{,}5)-\Phi(-0{,}5)=0{,}9938-0{,}3085=\mathbf{0{,}6853}$$