Resolución paso a paso

Matemáticas

Aragón · 2024 · Convocatoria ordinaria

El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5); aquí se resuelven todas.

Pregunta 1 · Continuidad y tangente

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^{2x}-1}{x}&x\neq0\\[2mm]a&x=0\end{cases}$$

a) Continuidad.

Para $x\neq0$ es cociente de funciones continuas con denominador no nulo: continua. En $x=0$:

$$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\ \underset{\text{L'Hôpital}}{=}\ \lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$$

$f$ es continua en $\mathbb{R}$ si y solo si $f(0)=a=2$. Si $a\neq2$, es continua en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ y tiene una discontinuidad evitable en $x=0$.

b) Tangente en $x=1$ para $a=1$.

Para $x\neq0$:

$$f'(x)=\frac{2xe^{2x}-(e^{2x}-1)}{x^2}\ \Rightarrow\ f(1)=e^2-1,\quad f'(1)=2e^2-e^2+1=e^2+1$$

Tangente: $y-(e^2-1)=(e^2+1)(x-1)\Rightarrow\boxed{y=(e^2+1)\,x-2}$.

  • Corte con el eje $OX$ ($y=0$): $x=\dfrac{2}{e^2+1}\approx0{,}238$, es decir, el punto $\left(\dfrac{2}{e^2+1},\,0\right)$.
  • Corte con el eje $OY$ ($x=0$): el punto $(0,-2)$.

Pregunta 2 · Límite en $+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{x^2+5}-(x+2)\right]$ es de tipo $\infty-\infty$. Se multiplica y divide por el conjugado:

$$\frac{\big(x^2+5\big)-(x+2)^2}{\sqrt{x^2+5}+(x+2)}=\frac{1-4x}{\sqrt{x^2+5}+x+2}$$

Dividiendo numerador y denominador entre $x$ (con $x>0$):

$$\frac{\tfrac1x-4}{\sqrt{1+\tfrac5{x^2}}+1+\tfrac2x}\ \xrightarrow[x\to+\infty]{}\ \frac{-4}{1+1}=\boxed{-2}$$

Pregunta 3 · Primitiva de $\sin^2x$

a)

Si $F(x)=ax+b\sin x\cos x+c$ es primitiva de $g(x)=\sin^2x$, debe ser $F'(x)=\sin^2x$:

$$F'(x)=a+b(\cos^2x-\sin^2x)=a+b(1-2\sin^2x)=(a+b)-2b\sin^2x$$

Igualando con $\sin^2x$: $-2b=1\Rightarrow b=-\tfrac12$ y $a+b=0\Rightarrow a=\tfrac12$. La constante $c$ puede ser cualquier real:

$$F(x)=\frac{x-\sin x\cos x}{2}+c,\qquad a=\tfrac12,\ b=-\tfrac12,\ c\in\mathbb{R}$$

b)

Se parte de $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ y se deriva en ambos lados:

$$2\cos(2x)=2\big(\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)\big)=2(\cos^2x-\sin^2x)\ \Rightarrow\ \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\ \ \blacksquare$$

Pregunta 4 · El cuadrado maximiza el área

Sean $x$ e $y$ los lados de un rectángulo de perímetro $P$: $2x+2y=P\Rightarrow y=\tfrac P2-x$, con $0<x<\tfrac P2$. El área es

$$A(x)=x\left(\tfrac P2-x\right)=\tfrac P2x-x^2$$

$A'(x)=\tfrac P2-2x=0\Rightarrow x=\tfrac P4$, y entonces $y=\tfrac P2-\tfrac P4=\tfrac P4=x$. Como $A''(x)=-2<0$, es un máximo (y en los extremos $x\to0$ y $x\to\tfrac P2$ el área tiende a $0$). Por tanto el rectángulo de mayor área es el de lados iguales: el cuadrado (de lado $P/4$ y área $P^2/16$).

Pregunta 5 · Matrices $A$, $B$ y $C=A^TB+I_2$

$A=\begin{pmatrix}-2&1\\2&0\\0&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, $A^T=\begin{pmatrix}-2&2&0\\1&0&-1\end{pmatrix}$.

$$A^TB=\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix},\qquad C=A^TB+I_2=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}$$

a) $C^{2n}$.

Se calcula $C^2=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=5I$. Entonces

$$C^{2n}=(C^2)^n=5^nI=\begin{pmatrix}5^n&0\\0&5^n\end{pmatrix}$$

b) $C\,X=5\,(A^TB)$.

De $C^2=5I$ se deduce $C^{-1}=\tfrac15C$ (también $|C|=-5\neq0$). Entonces

$$X=C^{-1}\cdot5A^TB=C\,A^TB=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-2\\-2&4\end{pmatrix}$$

Comprobación: $CX=\begin{pmatrix}-10&10\\10&0\end{pmatrix}=5A^TB$ ✓.

Pregunta 6 · Rango y sistema homogéneo

$A=\begin{pmatrix}2&-3&4\\-4&6&m-6\\2&-3&m+6\end{pmatrix}$.

a) Rango.

Se hacen transformaciones por filas: $F_2+2F_1=(0,0,m+2)$ y $F_3-F_1=(0,0,m+2)$. Entonces:

  • Si $m=-2$: las filas 2 y 3 se anulan y solo queda $F_1\neq0$: rango 1.
  • Si $m\neq-2$: quedan $F_1$ y $(0,0,m+2)$, independientes: rango 2 (y $|A|=0$ siempre).

b) $AX=0$ para $m=6$.

Es el caso $m\neq-2$ (rango 2), luego el sistema homogéneo es compatible indeterminado con un parámetro. Con $m=6$ las filas equivalentes son $(2,-3,4)$ y $(0,0,8)$:

$$8z=0\Rightarrow z=0,\qquad2x-3y=0\Rightarrow y=\tfrac23x$$

$$(x,y,z)=(3\lambda,\,2\lambda,\,0),\qquad\lambda\in\mathbb{R}$$

Pregunta 7 · Precios con IVA

Sean $a$, $b$ y $c$ los precios sin IVA de $A$, $B$ y $C$ (IVA del 4 %, 10 % y 21 %). Del enunciado:

$$\begin{cases}a+2b+5c=483\\0{,}04\cdot100\,a+0{,}10\cdot10\,b+0{,}21\cdot100\,c=1954\\c=4a+8b\end{cases}\iff\begin{cases}a+2b+5c=483\\4a+b+21c=1954\\c=4a+8b\end{cases}$$

Sustituyendo $c=4a+8b$:

De la primera, $a=23-2b$. En la segunda: $88(23-2b)+169b=2024-7b=1954\Rightarrow b=10$, y entonces $a=3$ y $c=4\cdot3+8\cdot10=92$.

Comprobación: $3+20+460=483$ ✓; $12+10+1932=1954$ ✓.

Precios a la venta (con IVA):

Pregunta 8 · Tetraedro

$P_1(-2,1,1)$, $P_2(0,a,-2)$, $P_3(-1,1,-1)$, $P_4(1,3,-3)$. Vectores desde $P_1$: $\overrightarrow{P_1P_2}=(2,a-1,-3)$, $\overrightarrow{P_1P_3}=(1,0,-2)$, $\overrightarrow{P_1P_4}=(3,2,-4)$.

$$\Delta=\begin{vmatrix}2&a-1&-3\\1&0&-2\\3&2&-4\end{vmatrix}=2\cdot4-(a-1)\cdot2-3\cdot2=4-2a$$

a) Volumen $\tfrac13$.

$V=\tfrac16|\Delta|=\tfrac13\Rightarrow|4-2a|=2\Rightarrow4-2a=\pm2$:

$$\boxed{a=1\quad\text{o}\quad a=3}$$

b) Coplanarios.

$\Delta=0\Rightarrow4-2a=0\Rightarrow\boxed{a=2}$.

Pregunta 9 · Asignatura de la EINA

a)

Porcentaje de aprobadas: $\dfrac{28}{54}=0{,}5185\Rightarrow\mathbf{51{,}9\,\%}$ de las alumnas. Porcentaje de aprobados: $\dfrac{21}{45}=0{,}4667\Rightarrow\mathbf{46{,}7\,\%}$ de los alumnos.

b)

Si se elige entre las 49 personas que aprueban en primera convocatoria:

$$P(\text{mujer}\mid\text{aprobada})=\frac{28}{49}=\frac47\approx0{,}571$$

Pregunta 10 · Turistas y Aragón

Sean $A$ = «visitó Aragón» y los medios $V$ (avión, 55 %), $T$ (tren, 30 %), $B$ (autobús, 10 %) y $S$ (barco, 5 %), con $P(A\mid V)=0{,}5$, $P(A\mid T)=0{,}6$, $P(A\mid B)=1$, $P(A\mid S)=0{,}2$.

a) Probabilidad total.

$$P(A)=0{,}55\cdot0{,}5+0{,}30\cdot0{,}6+0{,}10\cdot1+0{,}05\cdot0{,}2=0{,}275+0{,}18+0{,}10+0{,}01=\mathbf{0{,}565}$$

b) Teorema de Bayes.

$$P(T\cup B\mid A)=\frac{0{,}18+0{,}10}{0{,}565}=\frac{0{,}28}{0{,}565}\approx\mathbf{0{,}496}$$