Matemáticas

1. $\overrightarrow{EF}=(3,1,0)$, luego $D=(3\lambda,\;1+\lambda,\;3)$ y $\overrightarrow{AD}=(3\lambda,1+\lambda,3)$.
2. Se calcula el determinante, desarrollando por la primera fila:

$$\begin{vmatrix}2&0&\tfrac12\\ \tfrac32&3&1\\ 3\lambda&1+\lambda&3\end{vmatrix}=2\,[9-(1+\lambda)]+\tfrac12\left[\tfrac32(1+\lambda)-9\lambda\right]=16-2\lambda+\tfrac34-\tfrac{15}{4}\lambda=\frac{67-23\lambda}{4}$$

3. En $[0,1]$ el determinante es positivo (va de $67/4$ a $11$) y decrece con $\lambda$, así que $V(\lambda)=\dfrac{67-23\lambda}{24}$ es máximo en $\lambda=0$:

$$V_{\max}=\frac{67}{24}\approx2{,}79\ \text{m}^3$$

$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left(-\tfrac32,\,-\tfrac54,\,6\right),\qquad |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{\tfrac94+\tfrac{25}{16}+36}=\frac{\sqrt{637}}{4}\approx6{,}31$$

Área de la base: $\tfrac12\cdot6{,}31\approx3{,}15$ m$^2$. Como $V=\tfrac13\cdot\text{área}\cdot h$:

$$h=\frac{3V}{\text{área}}=\frac{3\cdot\tfrac{11}{6}}{3{,}15}=\frac{44}{\sqrt{637}}=\frac{44\sqrt{13}}{91}\approx1{,}74\ \text{m}$$

$$|A|=\begin{vmatrix}1&2&-1\\8&m&-6\\-1&-2&m^2\end{vmatrix}=m^3-16m^2-m+16=(m-16)(m-1)(m+1)$$

• $m\neq16,\,1,\,-1$: $|A|\neq0$, rango$(A)$ = rango$(A^*)$ = 3 = nº de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).
• $m=1$: la fila 3 es $-$(fila 1) en los coeficientes y el término independiente también cumple ($1=-(-1)$). Rango$(A)$ = rango$(A^*)=2<3$: compatible indeterminado (infinitas soluciones, un parámetro).
• $m=-1$: la fila 3 es $-$(fila 1) en los coeficientes, pero el término independiente es $-1$ en lugar de $+1$. Rango$(A)=2$ y rango$(A^*)=3$: incompatible.
• $m=16$: rango$(A)=2$ (el menor de las columnas 1 y 3 en las filas 1 y 2 vale $2\neq0$) y el menor de la matriz ampliada formado por las columnas 1, 3 y 4 vale $30\neq0$, luego rango$(A^*)=3$: incompatible.

$$x+2y-z=-1,\qquad 8x+y-6z=-8$$

De la primera, $x=-1-2y+z$. Sustituyendo en la segunda: $-8-16y+8z+y-6z=-8\Rightarrow-15y+2z=0\Rightarrow z=\tfrac{15}{2}y$. Tomando $y=2t$:

$$(x,y,z)=(-1+11t,\;2t,\;15t),\qquad t\in\mathbb{R}$$

$$B=\begin{pmatrix}0\\0\\\beta\\0\end{pmatrix},\qquad\beta\neq0\ \text{(para que }B\text{ no sea nula)}$$

Sea $C=(c_1,c_2,c_3,c_4)^t$. $NC=B$ da: $2c_1+c_2=0$, $2c_2=0$, $c_4=\beta$ y $0=0$ (la cuarta fila, compatible porque $B_4=0$). Luego $c_1=c_2=0$, $c_4=\beta$ y $c_3=\gamma$ libre:

$$C=\begin{pmatrix}0\\0\\\gamma\\\beta\end{pmatrix},\qquad\gamma\in\mathbb{R}$$

Sí existen (infinitas), y $C$ es no nula porque $\beta\neq0$.

$$A^{-1}(AD)=A^{-1}D\ \Rightarrow\ D=A^{-1}D$$

que es lo que se quería demostrar.

$$f'(x)=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^2x-\sin^2x\ (=\cos2x)$$

$$\int\frac{\cos^2x-\sin^2x}{2+\sin x\cos x}\,dx=\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C=\ln\left(2+\sin x\cos x\right)+C$$

(Se puede quitar el valor absoluto porque $\sin x\cos x=\tfrac12\sin2x\geq-\tfrac12$, luego $f(x)>0$.)

$$\frac{x^4+x^3-x^2-x}{(x^2-1)^{2k}}=x\,(x+1)^{2-2k}\,(x-1)^{1-2k}$$

Cuando $x\to1$: $x(x+1)^{2-2k}\to2^{2-2k}\neq0$, y todo depende de $(x-1)^{1-2k}$:

• $k\leq0$ ($1-2k\geq1$, exponente positivo): $(x-1)^{1-2k}\to0$, y el límite es $0$.
• $k\geq1$ ($1-2k\leq-1$, exponente impar y negativo): el factor tiende a $-\infty$ por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha, así que los límites laterales no coinciden y el límite no existe.

$g'(x)=1-\cos x\geq0$ para todo $x$, y solo se anula en los puntos aislados $x=2k\pi$. Por tanto $g$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ (nunca decrece).

• Mínimo absoluto: $g\!\left(\tfrac\pi2\right)=\tfrac\pi2-1\approx0{,}57$.
• Máximo absoluto: $g(\pi)=\pi-\sin\pi=\pi\approx3{,}14$.

$$H(x)=\frac{x^3}{3}+x\cos x-\sin x$$

$$H(\pi)=\frac{\pi^3}{3}-\pi,\qquad H\!\left(\tfrac\pi2\right)=\frac{\pi^3}{24}-1$$

$$\text{Área}=H(\pi)-H\!\left(\tfrac\pi2\right)=\frac{7\pi^3}{24}-\pi+1\approx6{,}90\ \text{u}^2$$

$P(\text{mujer})=\dfrac{1306}{1950}\approx0{,}670$ (67,0 %).

Por Bayes (o contando): $P(\text{Politécnica}\mid\text{mujer})=\dfrac{45}{1306}\approx0{,}0345$ (3,4 %).

Hombres en la Politécnica: $250-45=205$. $P(\text{Politécnica}\mid\text{hombre})=\dfrac{205}{644}\approx0{,}318$ (31,8 %).

• PI S.A. ($\mu=11\,125$, $\sigma=527$): $z=\dfrac{10\,000-11\,125}{527}=-2{,}135$, luego $P(X>10\,000)=P(Z>-2{,}135)=\Phi(2{,}135)$. En la tabla, 2,135 está a igual distancia de 2,13 y 2,14, así que se toma la media: $\Phi(2{,}13)=0{,}9834$ y $\Phi(2{,}14)=0{,}9838$, de modo que $\approx0{,}9836$.
• RHO M.A. ($\mu=10\,950$, $\sigma=430$): $z=\dfrac{10\,000-10\,950}{430}=-2{,}209\approx-2{,}21$, luego $P=\Phi(2{,}21)=0{,}9864$.

Como $0{,}9864>0{,}9836$, el inversor agresivo debe invertir en RHO M.A.

• PI: $z=\dfrac{0-11\,125}{527}=-21{,}1$. RHO: $z=\dfrac{0-10\,950}{430}=-25{,}5$.

Ambos valores quedan fuera de la tabla y las dos probabilidades son prácticamente nulas ($\approx0$); la de RHO es menor porque su $z$ es más negativo (las pérdidas están a 25,5 desviaciones típicas de la media, frente a 21,1 en PI). El inversor conservador debe invertir también en RHO M.A.