Resolución paso a paso

Matemáticas

País Vasco · 2024 · Convocatoria ordinaria

Examen del País Vasco (EAU 2024, ordinaria): cinco partes de 2,5 puntos, se responden cuatro, y en cada una se elige un ejercicio (aquí se resuelven todos).

Primera parte · Ejercicio A1 (sistema con parámetro $\alpha$)

$$\begin{cases}\alpha x+y+z=2\\x+2y+(\alpha-1)z=-1\\2x+y+(\alpha-2)z=1\end{cases}$$

Discusión. Determinante de la matriz de coeficientes:

$$|A|=\begin{vmatrix}\alpha&1&1\\1&2&\alpha-1\\2&1&\alpha-2\end{vmatrix}=\alpha(\alpha-3)+\alpha-3=\alpha^2-2\alpha-3=(\alpha-3)(\alpha+1)$$

$\alpha\neq3$ y $\alpha\neq-1$: rango$(A)$ = rango$(A^*)$ = 3: compatible determinado.
$\alpha=3$: las columnas 2 y 3 de $A$ coinciden y rango$(A)=2$ (el menor $\begin{vmatrix}3&1\\1&2\end{vmatrix}=5\neq0$). Los menores de orden 3 de la ampliada, con la columna $(2,-1,1)$, se anulan, así que rango$(A^*)=2$: compatible indeterminado.
$\alpha=-1$: rango$(A)=2$, pero el menor de la ampliada $\begin{vmatrix}-1&1&2\\1&2&-1\\2&1&1\end{vmatrix}=-12\neq0$ da rango$(A^*)=3$: incompatible.

Resolución para $\alpha=1$ (compatible determinado, pues $|A|=(1-3)(1+1)=-4\neq0$):

$$x+y+z=2,\qquad x+2y=-1,\qquad2x+y-z=1$$

De la segunda, $x=-1-2y$. Sumando la primera y la tercera ecuación: $3x+2y=3\Rightarrow3(-1-2y)+2y=3\Rightarrow y=-\tfrac32$. Entonces $x=2$ y $z=2-x-y=\tfrac32$:

$$(x,y,z)=\left(2,\,-\tfrac32,\,\tfrac32\right)$$

Primera parte · Ejercicio B1 (propiedades de los determinantes)

Se sabe que $\begin{vmatrix}a&b&c\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}=2$.

$\begin{vmatrix}3a&3b&3c\\a-p&b-q&c-r\\2x-a&2y-b&2z-c\end{vmatrix}$:

Se saca el factor $3$ de la fila 1 (un factor común de una fila sale multiplicando).
A la fila 2 se le resta la fila 1 y a la fila 3 se le suma la fila 1 (sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante): la fila 2 queda $(-p,-q,-r)$ y la fila 3 $(2x,2y,2z)$.
Se saca $-1$ de la fila 2 y $2$ de la fila 3.

$$=3\cdot(-1)\cdot2\begin{vmatrix}a&b&c\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}=-6\cdot2=\boxed{-12}$$

$\begin{vmatrix}a&x&2p\\b&y&2q\\c&z&2r\end{vmatrix}$:

Se saca el factor $2$ de la tercera columna.
El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta, así que se pueden pasar las columnas a filas: $\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\p&q&r\end{vmatrix}$.
Para llegar al determinante original hay que intercambiar las filas 2 y 3 (cambia el signo).

$$=2\cdot(-1)\cdot\begin{vmatrix}a&b&c\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}=-2\cdot2=\boxed{-4}$$

Segunda parte · Ejercicio A2 (dos rectas)

$r:\ (x,y,z)=(2\lambda,\,-1+4\lambda,\,2-\lambda)$ y $s:\ \begin{cases}2x-y=1\\z=3\end{cases}$.

a) Posición relativa.

Se parametriza $s$ con $x=t$: $(t,\,2t-1,\,3)$. Punto $S_0(0,-1,3)$ y dirección $\vec d_s=(1,2,0)$. De $r$: punto $R_0(0,-1,2)$ y dirección $\vec d_r=(2,4,-1)$.

$\vec d_r$ y $\vec d_s$ no son proporcionales: no son paralelas ni coincidentes.
$\overrightarrow{R_0S_0}=(0,0,1)$, y $\begin{vmatrix}2&4&-1\\1&2&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot(4-4)=0$: son coplanarias.

Por tanto se cortan (son secantes). Punto de corte: $2\lambda=t$, $-1+4\lambda=2t-1$ (compatible con la anterior) y $2-\lambda=3\Rightarrow\lambda=-1$, $t=-2$:

$$\text{Corte: }(-2,\,-5,\,3)$$

b) Plano que contiene a ambas.

Pasa por el punto de corte con direcciones $\vec d_r$ y $\vec d_s$. Normal:

$$\vec d_r\times\vec d_s=(4\cdot0-(-1)\cdot2,\;(-1)\cdot1-2\cdot0,\;2\cdot2-4\cdot1)=(2,-1,0)$$

$2(x+2)-(y+5)=0\Rightarrow\boxed{2x-y-1=0}$.

c) Punto $Q$ de $r$ con $\overrightarrow{PQ}\perp r$

, siendo $P(-8,-8,0)$. Con $Q(2\lambda,-1+4\lambda,2-\lambda)$: $\overrightarrow{PQ}=(2\lambda+8,\,4\lambda+7,\,2-\lambda)$.

$$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec d_r=2(2\lambda+8)+4(4\lambda+7)-(2-\lambda)=21\lambda+42=0\Rightarrow\lambda=-2$$

$$\boxed{Q(-4,\,-9,\,4)}\qquad(\overrightarrow{PQ}=(4,-1,4),\ \text{y}\ \overrightarrow{PQ}\cdot\vec d_r=8-4-4=0\ \checkmark)$$

Segunda parte · Ejercicio B2

$P_1(1,4,5)$, $P_2(1,2,-1)$, $P_3(0,-2,3)$, $P_4(-2,0,1)$.

a) Plano $\pi$ por $P_2$, $P_3$, $P_4$.

$\overrightarrow{P_2P_3}=(-1,-4,4)$ y $\overrightarrow{P_2P_4}=(-3,-2,2)$:

$$\vec n=(-1,-4,4)\times(-3,-2,2)=(0,-10,-10)\parallel(0,1,1)$$

Plano $y+z+D=0$ que pasa por $P_2$: $2-1+D=0\Rightarrow D=-1$:

$$\boxed{\pi:\ y+z-1=0}\qquad(P_3:\ -2+3-1=0\ \checkmark,\quad P_4:\ 0+1-1=0\ \checkmark)$$

b) Simétrico de $P_1$ respecto de $\pi$.

Valor en $P_1$: $4+5-1=8$, $|\vec n|^2=2$. Proyección de $P_1$ en $\pi$:

$$M=P_1-\frac82(0,1,1)=(1,0,1)$$

Simétrico: $P_1'=2M-P_1=(2-1,\,0-4,\,2-5)=\boxed{(1,-4,-3)}$.

Tercera parte · Ejercicio A3 ($f(x)=\dfrac{x}{x^2-2x+1}=\dfrac{x}{(x-1)^2}$)

a) Asíntotas.

Vertical $x=1$: $\lim_{x\to1}\dfrac{x}{(x-1)^2}=+\infty$ (por ambos lados).
Horizontal $y=0$: $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ (grado del numerador menor que el del denominador). No hay oblicua.

b) Monotonía.

$$f'(x)=\frac{(x-1)^2-2x(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{(x-1)-2x}{(x-1)^3}=-\frac{x+1}{(x-1)^3}$$

El numerador se anula en $x=-1$; el denominador en $x=1$ (fuera del dominio):

$x<-1$: $f'<0$, decreciente.
$-1<x<1$: $f'>0$, creciente.
$x>1$: $f'<0$, decreciente.

En $x=-1$ hay un mínimo relativo, $f(-1)=-\tfrac14$.

c) Tangente en $x=0$.

$f(0)=0$ y $f'(0)=-\dfrac{1}{(-1)^3}=1$. Recta: $\boxed{y=x}$.

d) Gráfica.

Pasa por el origen con pendiente 1; por la izquierda viene de $0^-$ (para $x\to-\infty$), baja hasta el mínimo $\left(-1,-\tfrac14\right)$ y sube hasta $+\infty$ al acercarse a $x=1$; a la derecha de $x=1$ baja desde $+\infty$ acercándose a $y=0$ por encima.

Tercera parte · Ejercicio B3 ($f(x)=Ax^4+Bx^2+C$)

$f'(x)=4Ax^3+2Bx$.

a) Parámetros.

Extremo relativo en $x=\tfrac12$: $f'\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac A2+B=0\Rightarrow B=-\tfrac A2$.
Tangente en $x=1$ de ecuación $y=6x-2$: pendiente $f'(1)=4A+2B=6$ y punto $f(1)=6\cdot1-2=4$, es decir, $A+B+C=4$.

Con $B=-\tfrac A2$: $4A-A=6\Rightarrow A=2$, $B=-1$, y $C=4-2+1=3$:

$$\boxed{A=2,\quad B=-1,\quad C=3}\qquad f(x)=2x^4-x^2+3$$

b) Extremos.

$f'(x)=8x^3-2x=2x(4x^2-1)=0\Rightarrow x=0,\ x=\pm\tfrac12$. Con $f''(x)=24x^2-2$:

$x=0$: $f''(0)=-2<0$, máximo relativo, $f(0)=3$.
$x=\pm\tfrac12$: $f''=6-2=4>0$, mínimos relativos, $f\!\left(\pm\tfrac12\right)=\tfrac18-\tfrac14+3=\tfrac{23}{8}$.

Cuarta parte · Ejercicio A4 (integrales)

(a) $\displaystyle\int\frac{2-3x+x^3}{x^2+2x+1}\,dx$. Se divide $x^3-3x+2$ entre $x^2+2x+1=(x+1)^2$: cociente $x-2$ y resto $4$ (pues $(x-2)(x^2+2x+1)=x^3-3x-2$).

$$\int\left(x-2+\frac{4}{(x+1)^2}\right)dx=\frac{x^2}{2}-2x-\frac{4}{x+1}+C$$

(b) $\displaystyle\int\frac{2-3x}{(x+1)^2}\,dx$. Se escribe $2-3x=-3(x+1)+5$:

$$\int\left(\frac{-3}{x+1}+\frac{5}{(x+1)^2}\right)dx=-3\ln|x+1|-\frac{5}{x+1}+C$$

Cuarta parte · Ejercicio B4 (recinto entre $y=x^2$, $y=\tfrac{x^2}{3}$ e $y=x$)

a) Dibujo.

Puntos de corte en el primer cuadrante: $y=x^2$ con $y=x$ en $(1,1)$; $y=\tfrac{x^2}3$ con $y=x$ en $(3,3)$; las dos parábolas solo en el origen. El recinto limitado por las tres curvas queda por encima de $y=\tfrac{x^2}{3}$ (de $x=0$ a $x=3$) y por debajo de la menor de $y=x^2$ e $y=x$: de $x=0$ a $x=1$ su techo es $y=x^2$ y de $x=1$ a $x=3$ su techo es la recta $y=x$.

b) Área.

$$\text{Área}=\int_0^1\left(x^2-\frac{x^2}{3}\right)dx+\int_1^3\left(x-\frac{x^2}{3}\right)dx=\int_0^1\frac{2x^2}{3}dx+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{9}\right]_1^3$$

$$=\frac29+\left(\frac92-3\right)-\left(\frac12-\frac19\right)=\frac29+\frac32-\frac7{18}=\frac{4+27-7}{18}=\frac{24}{18}=\boxed{\frac43\ \text{u}^2}$$

Quinta parte · Ejercicio A5 (dos urnas)

Urna A: 3 verdes, 5 rojas, 4 azules (12 bolas). Urna B: 2 verdes, 2 rojas, 3 azules (7 bolas). Se pasa una bola de A a B (que queda con 8) y se extrae una de B.

a) Árbol.

1.ª extracción (A)	Probabilidad	Composición de B	$P(\text{verde de B})$
Verde	$\tfrac3{12}$	3 V, 2 R, 3 A	$\tfrac38$
Roja	$\tfrac5{12}$	2 V, 3 R, 3 A	$\tfrac28$
Azul	$\tfrac4{12}$	2 V, 2 R, 4 A	$\tfrac28$

b) Verde de B

(probabilidad total):

$$P(V_B)=\frac3{12}\cdot\frac38+\frac5{12}\cdot\frac28+\frac4{12}\cdot\frac28=\frac{9+10+8}{96}=\frac{27}{96}=\frac9{32}=0{,}281$$

$P(V_B\mid R_A)=\dfrac28=\dfrac14=0{,}25$.

d) Bayes.

$$P(R_A\mid V_B)=\frac{P(R_A)\,P(V_B\mid R_A)}{P(V_B)}=\frac{\tfrac5{12}\cdot\tfrac28}{\tfrac{27}{96}}=\frac{10/96}{27/96}=\frac{10}{27}\approx0{,}370$$

Quinta parte · Ejercicio B5 (tiempo bajo el agua)

$X\sim N(45;\,7{,}3)$. Se tipifica $Z=\dfrac{X-45}{7{,}3}$.

a) Más de 57 s.

$z=\dfrac{57-45}{7{,}3}=1{,}64$:

$$P(X>57)=1-\Phi(1{,}64)=1-0{,}9495=0{,}0505\approx\mathbf{5{,}0\,\%}$$

b) Entre 39 y 57 s.

$z_1=\dfrac{39-45}{7{,}3}=-0{,}82$ y $z_2=1{,}64$:

$$P(39<X<57)=\Phi(1{,}64)-\Phi(-0{,}82)=\Phi(1{,}64)-\big(1-\Phi(0{,}82)\big)=0{,}9495-(1-0{,}7939)\approx0{,}743\ \Rightarrow\ \mathbf{74{,}3\,\%}$$

(Con $z$ sin redondear sale 74,4 %.)