Resolución paso a paso

Matemáticas

Comunidad Valenciana · 2025 · Convocatoria extraordinaria

La pregunta 1 es obligatoria; en las preguntas 2, 3 y 4 se elige entre el apartado 1 y el 2. Se resuelven todos los apartados.

Pregunta 1 · Probabilidad (publicaciones con «Like»)

Cada publicación recibe un «Like» con probabilidad $p=\tfrac35$ (y no lo recibe con $q=\tfrac25$), de forma independiente. El número de «Likes» en $n$ publicaciones es $X\sim\text{Bin}(n,\tfrac35)$.

1.1) Ningún «Like» en 4 publicaciones.

$$P(X=0)=\left(\tfrac25\right)^4=\frac{16}{625}=0{,}0256$$

1.2) No más de dos «Likes» en 4 publicaciones

($X\leq2$):

  • $P(X=0)=\tfrac{16}{625}$
  • $P(X=1)=\binom41\tfrac35\left(\tfrac25\right)^3=\tfrac{96}{625}$
  • $P(X=2)=\binom42\left(\tfrac35\right)^2\left(\tfrac25\right)^2=\tfrac{216}{625}$

$$P(X\leq2)=\frac{16+96+216}{625}=\frac{328}{625}=0{,}5248$$

1.3) Menor $n$ con $P(\text{al menos un «Like»})>0{,}999$.

$$P(X\geq1)=1-\left(\tfrac25\right)^n>0{,}999\iff\left(\tfrac25\right)^n<0{,}001\iff n>\frac{\ln0{,}001}{\ln0{,}4}=7{,}54$$

Comprobación: $0{,}4^7=0{,}00164>0{,}001$ (no basta) y $0{,}4^8=0{,}000655<0{,}001$. El menor número es $n=8$ publicaciones.

Pregunta 2 · Opción 2.1 (matrices)

$A=\begin{pmatrix}-2&1\\3&-2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}3&-1\\-3&3\end{pmatrix}$. Se tiene $|A|=4-3=1$ y $|B|=-1$.

2.1.1) Ecuación $(A^{-1}X)^{-1}=A\,(B^2A)^{-1}$.

  1. Lado izquierdo: $(A^{-1}X)^{-1}=X^{-1}A$.
  2. Lado derecho: $A\,(B^2A)^{-1}=A\,A^{-1}(B^2)^{-1}=(B^2)^{-1}$.
  3. Entonces $X^{-1}A=(B^2)^{-1}\Rightarrow X^{-1}=(B^2)^{-1}A^{-1}\Rightarrow X=A\,B^2$.

Se calcula $B^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$. Por tanto

$$X=A=\begin{pmatrix}-2&1\\3&-2\end{pmatrix}$$

(Todas las inversas existen porque $|A|=1\neq0$ y $B^2=I$.)

2.1.2) $\det\!\left(\left(3A^5B\right)^2\right)$.

Para matrices $2\times2$, $|3M|=3^2|M|=9|M|$. Entonces $|3A^5B|=9\,|A|^5|B|=9\cdot1\cdot(-1)=-9$ y

$$\left|\left(3A^5B\right)^2\right|=\left|3A^5B\right|^2=(-9)^2=81$$

2.1.3) $aB^{100}+bB^{99}=A+C$.

Como $B^2=I$: $B^{100}=(B^2)^{50}=I$ y $B^{99}=B^{98}B=B$. Además $A+C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$. La ecuación queda $aI+bB=I$:

$$\begin{pmatrix}a+b&2b\\0&a-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\Rightarrow b=0,\ a=1$$

Pregunta 2 · Opción 2.2 (sistema con parámetro $a$)

$$\begin{cases}x-ay-z=-a\\ax-y+z=a\\ax+y=a\end{cases}$$

2.2.1) Discusión.

Determinante de la matriz de coeficientes:

$$|A|=\begin{vmatrix}1&-a&-1\\a&-1&1\\a&1&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)+a\cdot(-a)-(a+a)=-(a+1)^2$$

  • $a\neq-1$: $|A|\neq0$, rango 3: compatible determinado.
  • $a=-1$: el sistema es $x+y-z=1$, $-x-y+z=-1$, $-x+y=-1$. La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-1$ (también el término independiente), y las ecuaciones 1 y 3 son independientes: rango$(A)$ = rango$(A^*)=2<3$. Compatible indeterminado (un parámetro).

2.2.2) Solución para $a\neq-1$.

Sumando las ecuaciones 1 y 2: $(1+a)x-(1+a)y=0\Rightarrow x=y$ (porque $a\neq-1$). En la tercera: $ax+x=a\Rightarrow x=\dfrac a{a+1}$. De la primera: $z=x-ay+a=x(1-a)+a=\dfrac{2a}{a+1}$.

$$(x,y,z)=\left(\frac a{a+1},\ \frac a{a+1},\ \frac{2a}{a+1}\right)$$

Comprobación en la segunda ecuación: $\dfrac{a^2-a+2a}{a+1}=\dfrac{a(a+1)}{a+1}=a$ ✓.

Pregunta 3 · Opción 3.1 (dos planos)

$\pi_1:\ x+2y+mz=-1$ con normal $\vec n_1=(1,2,m)$ y $\pi_2:\ x+z=6$ con normal $\vec n_2=(1,0,1)$.

3.1.1) Perpendiculares.

$\vec n_1\cdot\vec n_2=0\Rightarrow1+m=0\Rightarrow\boxed{m=-1}$.

3.1.2) Ángulo de 45°.

$$\cos45^\circ=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\ \Rightarrow\ \frac{\sqrt2}{2}=\frac{|1+m|}{\sqrt{5+m^2}\,\sqrt2}\ \Rightarrow\ |1+m|=\sqrt{5+m^2}$$

Elevando al cuadrado: $1+2m+m^2=5+m^2\Rightarrow2m=4\Rightarrow\boxed{m=2}$. (Comprobación: $\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$ ✓.)

3.1.3) Recta de intersección.

De $\pi_2$: $x=6-z$. Sustituyendo en $\pi_1$: $6-z+2y+mz=-1\Rightarrow y=-\tfrac72-\tfrac{m-1}{2}z$. Con $z=t$:

$$\begin{cases}x=6-t\\y=-\tfrac72-\tfrac{m-1}{2}\,t\\z=t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$$

Para $m=2$ (el valor del apartado anterior): $(x,y,z)=\left(6-t,\ -\tfrac72-\tfrac t2,\ t\right)$, con dirección $(2,1,-2)$ (coincide con $\vec n_1\times\vec n_2=(1,2,2)\times(1,0,1)=(2,1,-2)$).

Pregunta 3 · Opción 3.2

Plano $\pi:\ 3x+y-z=2$ (normal $\vec n=(3,1,-1)$), $P(0,1,-1)$ y $Q(1,a,1)$.

3.2.1) Recta $PQ$ contenida en $\pi$.

Hacen falta dos condiciones: que $P\in\pi$ y que la dirección $\overrightarrow{PQ}=(1,a-1,2)$ sea perpendicular a $\vec n$.

  • $P\in\pi$: $0+1+1=2$ ✓.
  • $\vec n\cdot\overrightarrow{PQ}=3+(a-1)-2=a=0$.

Luego $a=0$ (entonces $Q(1,0,1)$ también está en $\pi$: $3+0-1=2$ ✓).

3.2.2) Simétrico de $Q(1,1,1)$ respecto de $\pi$.

Se cumple $3\cdot1+1-1=3\neq2$: $Q\notin\pi$. Distancia con signo: $\dfrac{\vec n\cdot Q-2}{|\vec n|^2}=\dfrac{3-2}{11}=\dfrac1{11}$. La proyección de $Q$ en el plano es

$$M=Q-\tfrac1{11}\vec n=\left(\tfrac8{11},\tfrac{10}{11},\tfrac{12}{11}\right)\quad(\text{comprobación: }\tfrac{24+10-12}{11}=2\ \checkmark)$$

y el simétrico es $Q'=2M-Q$:

$$Q'=\left(\frac5{11},\ \frac9{11},\ \frac{13}{11}\right)$$

Pregunta 4 · Opción 4.1 ($f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$)

4.1.1) Dominio, asíntotas y monotonía.

  • Dominio: $\mathbb{R}$ (el denominador nunca se anula).
  • Asíntotas: no hay verticales. Horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2+1}=0$, luego $y=0$ es asíntota horizontal en $\pm\infty$. No hay oblicuas.
  • Monotonía: $f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$. Es positiva en $(-1,1)$ y negativa fuera: creciente en $(-1,1)$, decreciente en $(-\infty,-1)$ y en $(1,+\infty)$.

4.1.2) Extremos.

  • Mínimo relativo en $x=-1$: $f(-1)=-\tfrac12$.
  • Máximo relativo en $x=1$: $f(1)=\tfrac12$.

Como $f\to0$ en $\pm\infty$ y $-\tfrac12\leq f(x)\leq\tfrac12$ (pues $x^2+1\geq2|x|$), son también absolutos: mínimo absoluto $-\tfrac12$ en $x=-1$ y máximo absoluto $\tfrac12$ en $x=1$.

4.1.3) Gráfica.

$f$ es impar (simétrica respecto del origen), pasa por $(0,0)$ con pendiente $f'(0)=1$, sube hasta el máximo $(1,\tfrac12)$, y después decrece acercándose a $y=0$ por arriba; por simetría baja hasta el mínimo $(-1,-\tfrac12)$ y tiende a $0$ por debajo cuando $x\to-\infty$.

Pregunta 4 · Opción 4.2 ($f(x)=\dfrac1{x^2}$ y $g(x)=8x$)

4.2.1) Dominio, asíntotas y monotonía de $f$.

  • Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
  • Asíntotas: vertical $x=0$ (porque $\lim_{x\to0}\tfrac1{x^2}=+\infty$ por ambos lados) y horizontal $y=0$ (en $\pm\infty$).
  • Monotonía: $f'(x)=-\dfrac2{x^3}$: positiva si $x<0$ y negativa si $x>0$. Creciente en $(-\infty,0)$ y decreciente en $(0,+\infty)$.

4.2.2) Gráficas.

$f$ es una "campana" invertida con dos ramas a ambos lados de la asíntota $x=0$, siempre positiva; $g$ es la recta de pendiente 8 que pasa por el origen.

4.2.3) Área del recinto.

Se cortan donde $\dfrac1{x^2}=8x\iff x^3=\tfrac18\iff x=\tfrac12$ (punto $(\tfrac12,4)$). El recinto limitado por el eje $X$, la recta $x=1$ y las dos curvas está debajo de la menor de ellas: entre $x=0$ y $x=\tfrac12$ queda por debajo de $g$ y entre $x=\tfrac12$ y $x=1$ por debajo de $f$.

$$\text{Área}=\int_0^{1/2}8x\,dx+\int_{1/2}^{1}\frac{dx}{x^2}=\Big[4x^2\Big]_0^{1/2}+\Big[-\frac1x\Big]_{1/2}^{1}=1+(-1+2)=2\ \text{u}^2$$