Resolución paso a paso
Matemáticas
Examen de Aragón (julio de 2020). El PDF pierde en la extracción la mayoría de las fórmulas (matrices, límites, funciones), así que resuelvo las preguntas legibles (9 y 10) y para las demás doy el método. El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5).
Pregunta 1 · Sistema con parámetro
No legible (los coeficientes del sistema no se extraen). Método: se calcula el determinante de la matriz de coeficientes $|A(m)|$; para los valores de $m$ que no lo anulan, el sistema es compatible determinado (Rouché–Frobenius), y en cada valor crítico se comparan rango$(A)$ y rango$(A^*)$.
Pregunta 2 · Matrices
No legible. Método: para el apartado b), se comprueba $C^3=I$ multiplicando; entonces $C^{16}=(C^3)^5\,C=C$.
Preguntas 3 a 8
No legibles (sistema matricial, recta y plano, límite, funciones $f$ de las preguntas 6 y 7 e integral $\int x\ln x\ldots$ vienen sin fórmulas en el PDF). Se dan los métodos habituales:
- Sistema matricial de dos ecuaciones con $X$ e $Y$: se combinan las ecuaciones para eliminar una incógnita (como $3\times$ la primera menos $2\times$ la segunda).
- Plano que contiene a una recta y a un punto: se usa el haz de planos de la recta, o dos vectores directores (la dirección de la recta y el vector que une un punto de la recta con el punto dado).
- Volumen del paralelepípedo definido por tres vectores: $V=|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)|$.
- Asíntotas: verticales con los ceros del denominador, horizontales con $\lim_{x\to\pm\infty}f$ y oblicuas con $m=\lim f(x)/x$, $n=\lim(f(x)-mx)$.
- Dominio y monotonía de $\ln(\ldots)$: el argumento debe ser positivo y el signo de $f'$ da el crecimiento. Tangente: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.
- Integral con $\ln x$: por partes con $u=\ln x$.
Pregunta 9 · Paro por sexo
$P(\text{varón})=0{,}64$ con paro $12\,\%$; $P(\text{mujer})=0{,}36$ con paro $16\,\%$.
a)
$P(\text{mujer}\cap\text{paro})=0{,}36\cdot0{,}16=\mathbf{0{,}0576}$.
b)
$P(\text{paro})=0{,}64\cdot0{,}12+0{,}36\cdot0{,}16=0{,}0768+0{,}0576=\mathbf{0{,}1344}$.
c)
Por Bayes: $P(\text{mujer}\mid\text{paro})=\dfrac{0{,}0576}{0{,}1344}=\dfrac37\approx\mathbf{0{,}429}$.
Pregunta 10 · Abandono de estudios universitarios
Uno de cada 5 abandona: $p=\tfrac15=0{,}2$. $X\sim\text{Bin}(5;\,0{,}2)$.
a)
Uno o ninguno:
$$P(X\leq1)=\binom50\left(\tfrac45\right)^5+\binom51\cdot\tfrac15\left(\tfrac45\right)^4=\left(\tfrac45\right)^5+5\cdot\tfrac15\left(\tfrac45\right)^4=0{,}32768+0{,}4096=\mathbf{0{,}73728}$$
b)
$P(\text{todos abandonan})=\left(\tfrac15\right)^5=0{,}00032$ y $P(\text{ninguno abandona})=\left(\tfrac45\right)^5=0{,}32768$. Es mucho más probable que ninguno abandone ($0{,}32768$ frente a $0{,}00032$; el cociente es $4^5=1024$ veces mayor).