Resolución paso a paso

Matemáticas

Aragón · 2022 · Convocatoria ordinaria

El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5); aquí se resuelven todas. Algunos enunciados del PDF tienen fórmulas mal extraídas; indico la lectura seguida (preguntas 1, 6 y 8).

Pregunta 1 · Función a trozos

Lectura: $f(x)=\begin{cases}\sqrt{-x}+e^3&x\leq0\\(1-x)^{a/x}&x>0\end{cases}$

a) Continuidad en $\mathbb{R}$.

Cada trozo es continuo en su dominio; en $x=0$: $f(0)=e^3$ y por la izquierda el límite es $e^3$. Por la derecha, es de tipo $1^\infty$:

$$\lim_{x\to0^+}(1-x)^{a/x}=\exp\left(\lim_{x\to0^+}\frac ax\cdot(-x)\right)=e^{-a}$$

Continuidad: $e^{-a}=e^3\Rightarrow\boxed{a=-3}$.

b) Tangente en $x=-4$ (con $a=1$).

Para $x<0$, $f(x)=\sqrt{-x}+e^3$, $f'(x)=-\dfrac1{2\sqrt{-x}}$. En $x=-4$: $f(-4)=2+e^3$ y $f'(-4)=-\dfrac14$:

$$y-(2+e^3)=-\frac14(x+4)\ \Rightarrow\ y=-\frac x4+1+e^3$$

Pregunta 2 · Límite en $+\infty$

$$\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{3x^2-2}-(\sqrt3x+5)\right]=\lim\frac{(3x^2-2)-(\sqrt3x+5)^2}{\sqrt{3x^2-2}+\sqrt3x+5}=\lim\frac{-10\sqrt3\,x-27}{\sqrt{3x^2-2}+\sqrt3x+5}$$

Dividiendo entre $x$:

$$\frac{-10\sqrt3-\tfrac{27}{x}}{\sqrt{3-\tfrac2{x^2}}+\sqrt3+\tfrac5x}\ \to\ \frac{-10\sqrt3}{2\sqrt3}=\boxed{-5}$$

Pregunta 3 · Integral

$\displaystyle\int e^{-x}(x^2-1)\,dx$. Se integra por partes dos veces la parte en $x^2$: $\int x^2e^{-x}dx=-e^{-x}(x^2+2x+2)$; y $\int e^{-x}dx=-e^{-x}$:

$$\int e^{-x}(x^2-1)\,dx=-e^{-x}(x^2+2x+2)+e^{-x}=-(x+1)^2e^{-x}+C$$

(Comprobación: la derivada es $e^{-x}\big[(x+1)^2-2(x+1)\big]=e^{-x}(x^2-1)$ ✓.)

Pregunta 4 · $f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}$

a) Dominio y monotonía.

Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

$$f'(x)=\frac{2(x-1)x^2-(x-1)^2\,2x}{x^4}=\frac{2(x-1)}{x^3}$$

  • $x<0$: numerador y denominador negativos, $f'>0$: creciente.
  • $0<x<1$: $f'<0$: decreciente.
  • $x>1$: $f'>0$: creciente.

b) Curvatura.

Se deriva $f'(x)=2(x-1)x^{-3}$:

$$f''(x)=2x^{-3}-6(x-1)x^{-4}=\frac{2x-6(x-1)}{x^4}=\frac{2(3-2x)}{x^4}$$

  • $x<\tfrac32$ ($x\neq0$): $f''>0$, convexa ($\cup$).
  • $x>\tfrac32$: $f''<0$, cóncava ($\cap$).

Punto de inflexión en $x=\tfrac32$: $f\!\left(\tfrac32\right)=\dfrac{1/4}{9/4}=\dfrac19$, es decir, $\left(\tfrac32,\tfrac19\right)$.

Pregunta 5 · Matrices

$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}$, $|A|=-1\neq0$.

a) $AX-2I=A^2$.

$AX=A^2+2I\Rightarrow X=A^{-1}(A^2+2I)=A+2A^{-1}$. Por adjuntos,

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&1\\-1&-1&1\\0&1&0\end{pmatrix}$$

$$X=A+2A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-3&2\\-2&-2&3\\1&2&1\end{pmatrix}$$

(Comprobación: $AX=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\1&2&1\\2&-1&3\end{pmatrix}=A^2+2I$ ✓.)

b) Rango de $A-mM$

, con $M=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$ (se interpreta que la matriz del enunciado es $M$ y se estudia $A-mM$):

$$A-mM=\begin{pmatrix}1&m-1&0\\-m&0&1-m\\1&m&1\end{pmatrix},\qquad|A-mM|=(m^2-m)+(m-1)=m^2-1$$

  • $m\neq\pm1$: rango 3.
  • $m=1$: $\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$: rango 2 (filas 1 y 2 proporcionales).
  • $m=-1$: $\begin{pmatrix}1&-2&0\\1&0&2\\1&-1&1\end{pmatrix}$: la fila 3 es la semisuma de las dos primeras; rango 2.

Pregunta 6 · Determinantes

a)

Se sabe que $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\a&b&c\end{vmatrix}=-2$. Se pide el determinante de

$$M=\begin{pmatrix}-a+2&-c+2&-b+2\\\tfrac x2&\tfrac z2&\tfrac y2\\3&3&3\end{pmatrix}$$

(se lee la segunda fila como $\tfrac x2,\tfrac z2,\tfrac y2$, lo único compatible con el dato).

  1. $F_1-\tfrac23F_3=(-a,-c,-b)$ (no cambia el determinante).
  2. Se sacan los factores: $-1$ de la fila 1, $\tfrac12$ de la fila 2 y $3$ de la fila 3: $|M|=-\tfrac32\begin{vmatrix}a&c&b\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}$.
  3. Intercambiar las columnas 2 y 3 cambia el signo: $\begin{vmatrix}a&c&b\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}$.
  4. Mover la fila de unos al principio es una permutación cíclica de filas (par): $\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\x&y&z\end{vmatrix}$, y esta es el dato con las filas 2 y 3 intercambiadas: $=-(-2)=2$.

$$|M|=-\tfrac32\cdot(-2)=\boxed{3}$$

b)

$M=\begin{pmatrix}3&2&0\\0&1&-1\\5&3&-1\end{pmatrix}$, $|M|=3(-1+3)-2(0+5)=6-10=-4\neq0$: es invertible.

$$M^{-1}=\frac1{-4}\begin{pmatrix}2&2&-2\\-5&-3&3\\-5&1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\tfrac12&-\tfrac12&\tfrac12\\\tfrac54&\tfrac34&-\tfrac34\\\tfrac54&-\tfrac14&-\tfrac34\end{pmatrix}$$

(Comprobación: $MM^{-1}=I$.)

Pregunta 7 · Sistema con parámetro $a$

$$\begin{cases}-x+3y+z=5\\2x+az=-4\\4x-3z=a+1\end{cases}$$

a) Discusión.

Desarrollando por la columna 2 (solo el 3 es no nulo):

$$|A|=-3\begin{vmatrix}2&a\\4&-3\end{vmatrix}=-3(-6-4a)=6(2a+3)=12a+18$$

  • $a\neq-\tfrac32$: compatible determinado.
  • $a=-\tfrac32$: las ecuaciones 2 y 3 quedan $2x-\tfrac32z=-4\iff4x-3z=-8$ y $4x-3z=-\tfrac12$: incompatible.

b) Resolución para $a=1$.

$2x+z=-4$ y $4x-3z=2$: $z=-4-2x\Rightarrow4x+12+6x=2\Rightarrow x=-1$, $z=-2$. En la primera: $1+3y-2=5\Rightarrow y=2$:

$$(x,y,z)=(-1,\,2,\,-2)$$

Pregunta 8 · Plano y vectores dependientes

Lectura: $r_1:\ \dfrac x3=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac z1$ (punto $(0,-2,0)$, dirección $\vec d_1=(3,1,1)$) y $r_2:\ (-1+6t,\,-2t,\,t)$ (punto $(-1,0,0)$, dirección $\vec d_2=(6,-2,1)$).

a) Plano que contiene a $r_1$ y $r_2$ y pasa por $(-1,2,1)$.

Para que exista un plano que contenga a las dos rectas, estas deben ser coplanarias. Con los datos tal como aparecen en el texto del PDF:

$$\begin{vmatrix}3&1&1\\6&-2&1\\-1&2&0\end{vmatrix}=3\neq0$$

(con el vector $(-1,2,0)$ entre un punto de cada recta), es decir, las dos rectas se cruzan y no hay ningún plano que las contenga. Eso sugiere que algún dato no se ha extraído bien del PDF. El método sería: si fueran coplanarias, el plano tiene normal $\vec d_1\times\vec d_2$ y pasa por un punto de cualquiera de ellas; la condición «pasa por $(-1,2,1)$» se comprueba sustituyendo.

b) $\vec v=(2,k,2k)$ dependiente de $\vec d_1$ y $\vec d_2$.

Los tres vectores son linealmente dependientes si y solo si el determinante es nulo:

$$\begin{vmatrix}3&1&1\\6&-2&1\\2&k&2k\end{vmatrix}=3(-4k-k)-1(12k-2)+1(6k+4)=-21k+6=0\ \Rightarrow\ \boxed{k=\frac27}$$

Pregunta 9 · Vectores ortogonales y volumen

a)

$\vec v_1=a\vec u_1-2\vec u_2+3\vec u_3$ y $\vec v_2=-\vec u_1+a\vec u_2+\vec u_3$, con $\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\}$ ortonormales ($\vec u_i\cdot\vec u_i=1$, $\vec u_i\cdot\vec u_j=0$):

$$\vec v_1\cdot\vec v_2=-a-2a+3=3-3a=0\ \Rightarrow\ \boxed{a=1}$$

b)

$\vec v_1=(1,0,-2)$, $\vec v_2=(3,1,0)$ y $\vec v_3=\vec v_1+\vec v_2=(4,1,-2)$. Los tres vectores son linealmente dependientes (el tercero es combinación de los otros dos), de modo que son coplanarios y el producto mixto es cero:

$$\begin{vmatrix}1&0&-2\\3&1&0\\4&1&-2\end{vmatrix}=1(-2)-0+(-2)(3-4)=-2+2=0$$

El volumen es $V=\tfrac16|0|=0$ (el «tetraedro» es plano).

Pregunta 10 · Peso de recién nacidos

$X\sim N(3300,\,465)$.

a) Bajo peso ($X<2500$).

$z=\dfrac{2500-3300}{465}=-1{,}72$:

$$P(X<2500)=\Phi(-1{,}72)=1-0{,}9573=\mathbf{0{,}0427}$$

b) Entre 3500 y 4000 g.

$z_1=\dfrac{200}{465}=0{,}43$ y $z_2=\dfrac{700}{465}=1{,}505$ (a medias entre $1{,}50$ y $1{,}51$: $\Phi=\tfrac{0{,}9332+0{,}9345}{2}=0{,}9338$):

$$P(3500<X<4000)=0{,}9338-\Phi(0{,}43)=0{,}9338-0{,}6664\approx\mathbf{0{,}267}$$