Resolución paso a paso

Matemáticas

País Vasco · 2022 · Convocatoria extraordinaria

Examen del País Vasco (EAU 2022, extraordinaria): cinco partes de 2,5 puntos; se responden cuatro y en cada una se elige un ejercicio. Aquí se resuelven todos.

Primera parte · Ejercicio A1 (sistema con parámetro $\alpha$)

$$\begin{cases}\alpha x+2y-2z=2\\2x+2y-2z=\alpha\\\alpha x+2y-z=1\end{cases}$$

Discusión.

$$|A|=\begin{vmatrix}\alpha&2&-2\\2&2&-2\\\alpha&2&-1\end{vmatrix}=\alpha(-2+4)-2(-2+2\alpha)-2(4-2\alpha)=2\alpha-4=2(\alpha-2)$$

• $\alpha\neq2$: compatible determinado.
• $\alpha=2$: las filas 1 y 2 coinciden (también en el término independiente, $2=\alpha=2$) y la fila 3 es independiente: rango$(A)$ = rango$(A^*)=2<3$: compatible indeterminado.

Resolución para $\alpha=1$: $x+2y-2z=2$, $2x+2y-2z=1$, $x+2y-z=1$. Restando las dos primeras: $x=-1$. Entonces $2y-2z=3$ y $2y-z=2$; restando, $z=-1$ y $y=\tfrac12$:

$$(x,y,z)=\left(-1,\ \tfrac12,\ -1\right)$$

Primera parte · Ejercicio B1 (determinante)

Sea $D=\begin{vmatrix}a&b&c\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}$. Se sabe que $\begin{vmatrix}p+a&q+b&r+c\\2x&2y&2z\\p+x&q+y&r+z\end{vmatrix}=6$.

1. Se saca el factor $2$ de la fila 2 (propiedad: un factor común a una fila sale multiplicando).
2. $F_3\to F_3-F_2$: la fila 3 pasa a ser $(p,q,r)$ (sumar o restar filas no cambia el determinante).
3. $F_1\to F_1-F_3$: la fila 1 pasa a ser $(a,b,c)$.

$$6=2\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\p&q&r\end{vmatrix}=2\cdot(-D)$$

(el último determinante tiene las filas 2 y 3 intercambiadas respecto de $D$, lo que cambia el signo). Entonces $-2D=6$:

$$\boxed{D=-3}$$

Segunda parte · Ejercicio A2

$r:\ \begin{cases}3x+\alpha y+z=1\\2x+6y-2z=6\end{cases}$ y $\pi:\ x+y+z=1$. ¿Hay algún $\alpha$ para el que $\pi$ contenga a $r$?

La recta tiene dirección $\vec d=(3,\alpha,1)\times(2,6,-2)=(-2\alpha-6,\ 8,\ 18-2\alpha)$. Para que $r\subset\pi$ hace falta que $\vec d$ sea perpendicular a $\vec n=(1,1,1)$:

$$\vec d\cdot\vec n=-2\alpha-6+8+18-2\alpha=20-4\alpha=0\ \Rightarrow\ \alpha=5$$

Para $\alpha=5$ la recta es paralela a $\pi$; falta ver si está contenida: $3x+5y+z=1$ y $x+3y-z=3$. Con $y=0$: $3x+z=1$ y $x-z=3$, luego $x=1$, $z=-2$: el punto $(1,0,-2)$ está en $r$ pero no en $\pi$ ($1+0-2=-1\neq1$). Por tanto la recta es paralela y distinta del plano.

No existe ningún valor de $\alpha$ para el que $\pi$ contenga a $r$.

Segunda parte · Ejercicio B2

$r:\ \begin{cases}3x+y+z=0\\x-y+2z=0\end{cases}$.

Ecuaciones paramétricas. Dirección: $(3,1,1)\times(1,-1,2)=(3,-5,-4)$. Como el sistema es homogéneo, $r$ pasa por el origen:

$$r:\ \begin{cases}x=3t\\y=-5t\\z=-4t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$$

¿Está $(-3,s,s)$ en $r$? Con $x=-3$ resulta $t=-1$ y entonces $y=5$, $z=4$; hace falta $y=z=s$, y $5\neq4$. (También, sustituyendo en las ecuaciones: $-9+2s=0\Rightarrow s=\tfrac92$ y $-3-s+2s=0\Rightarrow s=3$, incompatibles.) No existe ningún valor de $s$.

Tercera parte · Ejercicio A3 ($f(x)=2x^3-3x+1$)

Tangentes paralelas a $y=3x-2$ (pendiente 3): $f'(x)=6x^2-3=3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

• $x=1$: $f(1)=0$, tangente $y=3(x-1)\Rightarrow\boxed{y=3x-3}$.
• $x=-1$: $f(-1)=2$, tangente $y-2=3(x+1)\Rightarrow\boxed{y=3x+5}$.

Monotonía. $f'(x)=6x^2-3>0\iff|x|>\tfrac{\sqrt2}2$: creciente en $\left(-\infty,-\tfrac{\sqrt2}2\right)\cup\left(\tfrac{\sqrt2}2,+\infty\right)$ y decreciente en $\left(-\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2\right)$.

Tercera parte · Ejercicio B3

$f(x)=\begin{cases}x^2+Ax&x\leq1\\Bx-A&x>1\end{cases}$.

Cuarta parte · Ejercicio A4

$\displaystyle\int\ln(x^2-1)\,dx$. Por partes ($u=\ln(x^2-1)$, $dv=dx$):

$$=x\ln|x^2-1|-\int\frac{2x^2}{x^2-1}\,dx=x\ln|x^2-1|-\int\left(2+\frac{2}{x^2-1}\right)dx$$

Con $\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}$:

$$=x\ln|x^2-1|-2x-\ln|x-1|+\ln|x+1|+C=(x-1)\ln|x-1|+(x+1)\ln|x+1|-2x+C$$

Cuarta parte · Ejercicio B4

Recinto. $f(x)=x$, $g(x)=\tfrac x8$ y $h(x)=\tfrac1{x^2}$ en el primer cuadrante. Cortes: $f=h$ en $x=1$ (punto $(1,1)$); $g=h$ en $x^3=8$, es decir, $x=2$ (punto $\left(2,\tfrac14\right)$); $f$ y $g$ en el origen. El recinto queda por encima de $g$ y por debajo de la menor de $f$ y $h$: de $x=0$ a $x=1$ su techo es $y=x$ y de $x=1$ a $x=2$ es $y=\tfrac1{x^2}$.

$$\text{Área}=\int_0^1\left(x-\frac x8\right)dx+\int_1^2\left(\frac1{x^2}-\frac x8\right)dx=\frac7{16}+\left[-\frac1x-\frac{x^2}{16}\right]_1^2=\frac7{16}+\left(-\frac34+\frac{17}{16}\right)=\frac{12}{16}=\boxed{\frac34\ \text{u}^2}$$

Quinta parte · Ejercicio A5 (dos urnas)

Urna $S$: 5 blancas y 3 negras (8 bolas); urna $T$: 6 blancas y 4 negras (10 bolas). Se elige una urna al azar y se extraen dos bolas (sin reemplazamiento).

Quinta parte · Ejercicio B5 (hogares con dos coches)

$X\sim\text{Bin}(50,\,0{,}6)$: $\mu=30$ y $\sigma=\sqrt{50\cdot0{,}6\cdot0{,}4}=3{,}46$. Se aproxima por la normal con corrección de continuidad.