Resolución paso a paso

Matemáticas

Aragón · 2020 · Convocatoria extraordinaria

Examen de Aragón (septiembre de 2020). El PDF pierde en la extracción casi todas las fórmulas de las preguntas 1, 3, 4, 5 y 7 (las matrices, límites y funciones no se leen), así que resuelvo las preguntas legibles (2, 6, 8, 9 y 10) y para las demás doy el método. El examen tiene 10 preguntas optativas (se eligen 5).

Pregunta 1 · Sistema $AX=B$ con parámetro $a$

No legible. Método: se escribe la matriz de coeficientes $A(a)$ y se calcula $|A(a)|$; para los valores de $a$ que no lo anulan el sistema es compatible determinado (Rouché–Frobenius), y en cada valor crítico se comparan rango$(A)$ y rango$(A^*)$. Para el valor de $a$ pedido en el apartado b), se sustituye y se resuelve por Gauss.

Pregunta 2 · Mascarillas

Sean $d$, $h$ y $r$ los precios de las mascarillas quirúrgicas desechables, higiénicas y reutilizables.

$$\begin{cases}\dfrac{d+h+r}{3}=0{,}90\\30d+20h+10r=56\\20d+25r=31\end{cases}\iff\begin{cases}d+h+r=2{,}70\\30d+20h+10r=56\\20d+25r=31\end{cases}$$

De la primera, $h=2{,}70-d-r$. En la segunda: $30d+54-20d-20r+10r=56\Rightarrow10d-10r=2\Rightarrow d=r+0{,}2$. En la tercera: $20(r+0{,}2)+25r=31\Rightarrow45r=27\Rightarrow r=0{,}6$; entonces $d=0{,}8$ y $h=2{,}7-0{,}8-0{,}6=1{,}3$.

$$\boxed{d=0{,}80\ \text{€},\quad h=1{,}30\ \text{€},\quad r=0{,}60\ \text{€}}$$

Comprobación: $24+26+6=56$ y $16+15=31$ ✓.

Pregunta 3 · Ecuación matricial

No legible (las matrices $A$ y $B$ no se extraen). Método: si la ecuación es del tipo $BX-A\,X=A^t$ (o similar), se agrupan los términos en $X$, $(B-A)X=A^t$, y se despeja $X=(B-A)^{-1}A^t$ comprobando antes que $|B-A|\neq0$.

Pregunta 4 · Plano que contiene a una recta y es perpendicular a otro plano

No legible. Método: el plano pedido contiene la dirección $\vec d_r$ de la recta y la normal $\vec n$ del plano dado, así que su normal es $\vec d_r\times\vec n$; se completa con un punto de la recta.

Pregunta 5 · Límite

No legible.

Pregunta 6 · Campo de juego

Lectura del enunciado. La parte central es un rectángulo de base $y$ y altura $x$, y a cada lado hay una semicircunferencia de diámetro $x$. La superficie debe ser $4+\pi$ m$^2$ y se pinta el perímetro y las rayas interiores (los dos diámetros que separan las semicircunferencias del rectángulo). El dibujo no se ve; esta lectura es la que da un resultado limpio.

Superficie: rectángulo $xy$ más las dos semicircunferencias, que juntas forman un círculo de radio $\tfrac x2$:

$$xy+\pi\frac{x^2}{4}=4+\pi\ \Rightarrow\ y=\frac{4+\pi}{x}-\frac{\pi x}{4}$$

Longitud a pintar: perímetro ($2y$ de los lados rectos y $\pi x$ de las dos semicircunferencias) más los dos diámetros ($2x$):

$$L=2y+\pi x+2x=\frac{2(4+\pi)}{x}-\frac{\pi x}{2}+(\pi+2)x=\frac{2(4+\pi)}{x}+\frac{\pi+4}{2}x$$

$$L'(x)=-\frac{2(4+\pi)}{x^2}+\frac{4+\pi}{2}=0\ \Rightarrow\ x^2=4\ \Rightarrow\ x=2$$

$L''(x)=\dfrac{4(4+\pi)}{x^3}>0$: mínimo. Entonces $y=\dfrac{4+\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{4}=2$:

$$\boxed{x=2\ \text{m},\quad y=2\ \text{m}}$$

Pregunta 7 · Función con logaritmo

No legible (la expresión de $f$ no se extrae con fiabilidad). Método: el dominio se obtiene exigiendo que el argumento del logaritmo sea positivo y el denominador no nulo; la monotonía, con el signo de $f'$.

Pregunta 8 · Integral

Lectura: $\displaystyle\int x^3e^{x^2}\,dx$ (la expresión del PDF está deformada; es la que cuadra con los exponentes). Con $u=x^2$, $du=2x\,dx$:

$$\int x^2e^{x^2}\,x\,dx=\frac12\int ue^u\,du=\frac12\left(ue^u-e^u\right)+C=\frac12e^{x^2}\left(x^2-1\right)+C$$

Pregunta 9 · Dispositivos para las clases en línea

$C$: dispone de ordenador ($80\,\%$), $M$: dispone de móvil ($15\,\%$), $C\cap M$: $10\,\%$.

Pregunta 10 · Tiempo hasta la universidad

$T\sim N(30,\,5)$.