Resolución paso a paso

Matemáticas

Canarias · 2020 · Convocatoria extraordinaria

Examen de Canarias (EBAU 2019–2020, extraordinaria): se eligen cuatro preguntas de los grupos A o B; aquí se resuelven todas. El PDF pierde algunos signos en las matrices del grupo A (pregunta 2) y restituyo la lectura que da un resultado coherente.

Grupo A

1. Integral y asíntotas

a)

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$, por partes ($u=x$, $dv=\cos x\,dx$):

$$\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\frac\pi2-\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/2}=\frac\pi2-1$$

b) Asíntotas de $f(x)=\dfrac{x^3+5x^2}{x^2-1}$.

  • Verticales: $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1$, y el numerador ($6$ y $4$) no se anula: $x=1$ y $x=-1$.
  • Horizontal: no hay (grado del numerador mayor que el del denominador).
  • Oblicua: $\dfrac{x^3+5x^2}{x^2-1}=x+5+\dfrac{x+5}{x^2-1}$, y el último sumando tiende a 0: $y=x+5$.

2. Ecuación matricial $XA-C^t=XB$

Lectura: $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&2&9\\10&-3&5\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&9\\10&-3&4\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}-1&0\\-3&-1\\6&0\end{pmatrix}$.

a) Dimensión de $X$.

$A$ y $B$ son $3\times3$ y $C^t$ es $2\times3$. Para que $XA$ esté definido, $X$ debe tener 3 columnas, y para que $XA-C^t$ sea $2\times3$, debe tener 2 filas: $X$ es $2\times3$.

b)

$XA-XB=C^t\Rightarrow X(A-B)=C^t$ con

$$A-B=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad|A-B|=1,\qquad(A-B)^{-1}=A-B$$

(porque $(A-B)^2=I$). Entonces

$$X=C^t(A-B)^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-3&6\\0&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&5\\0&1&0\end{pmatrix}$$

(Comprobación: $XA-C^t=XB=\begin{pmatrix}55&-4&47\\10&-3&9\end{pmatrix}$.)

3. Recta y plano

$r:\ (-2\lambda,\ 2+\lambda,\ 2+\lambda)$ con $\vec d=(-2,1,1)$ y $\pi:\ x-3y+5z=2$ con $\vec n=(1,-3,5)$.

a)

$\vec d\cdot\vec n=-2-3+5=0$: la recta es paralela al plano. El punto $(0,2,2)$ de $r$ no está en $\pi$ ($0-6+10=4\neq2$): $r$ es paralela a $\pi$ y no está contenida en él.

b) Plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

Contiene las direcciones $\vec d$ y $\vec n$:

$$\vec d\times\vec n=(8,11,5)\ \Rightarrow\ 8x+11(y-2)+5(z-2)=0\ \Rightarrow\ \boxed{8x+11y+5z-32=0}$$

(Comprobación con el punto $(-2,3,3)\in r$: $-16+33+15-32=0$.)

4. Bombillas fluorescentes

$p=0{,}9$ (vida útil $\geq800$ h) y $n=20$.

a)

$P(X=18)=\dbinom{20}{18}0{,}9^{18}\,0{,}1^2=190\cdot0{,}1501\cdot0{,}01\approx0{,}285$, es decir, el $28{,}5\,\%<30\,\%$: la afirmación es falsa.

b)

Sea $Y$ el número de bombillas que no duran 800 h, $Y\sim\text{Bin}(20;0{,}1)$:

$$P(Y\leq2)=0{,}9^{20}+20\cdot0{,}1\cdot0{,}9^{19}+190\cdot0{,}1^2\cdot0{,}9^{18}\approx0{,}1216+0{,}2702+0{,}2852=0{,}677<0{,}7$$

La afirmación es cierta.

c)

El valor esperado de bombillas con vida útil $\geq800$ h en una muestra de 100 es $100\cdot0{,}9=90$, no 10: falsa (10 sería el número esperado de bombillas que no llegan a 800 h).

Grupo B

1. Tangente a $f(x)=\dfrac{bx-1}{bx+1}$ en $x=0$

$f(0)=-1$ y $f'(x)=\dfrac{b(bx+1)-b(bx-1)}{(bx+1)^2}=\dfrac{2b}{(bx+1)^2}$, luego $f'(0)=2b$. La recta $y=6x+a$ es tangente en $x=0$ si su pendiente es $f'(0)$ y pasa por $(0,f(0))$:

$$2b=6\Rightarrow b=3,\qquad a=f(0)=-1$$

$$\boxed{a=-1,\ b=3}\qquad f(x)=\frac{3x-1}{3x+1},\quad\text{tangente: }y=6x-1$$

2. Sistema con parámetro $k$

$$\begin{cases}kx+2y+6z=0\\2x+ky+4z=2\\2x+ky+6z=k-2\end{cases}$$

a) Discusión.

$$|A|=\begin{vmatrix}k&2&6\\2&k&4\\2&k&6\end{vmatrix}=2k^2-8=2(k-2)(k+2)$$

  • $k\neq\pm2$: compatible determinado.
  • $k=2$: $F_1=F_3$ (también el término independiente: $0=k-2=0$) y $F_1,F_2$ son independientes: rango$(A)$ = rango$(A^*)=2<3$: compatible indeterminado.
  • $k=-2$: sumando $F_1$ a $F_2$ y a $F_3$ se obtiene $10z=2$ y $12z=-4$: contradictorias: incompatible.

b) Resolución para $k=0$:

$2y+6z=0$, $2x+4z=2$, $2x+6z=-2$. Restando las dos últimas: $2z=-4\Rightarrow z=-2$; entonces $y=-3z=6$ y $x=\dfrac{2-4z}{2}=5$:

$$(x,y,z)=(5,\,6,\,-2)$$

3. Plano y ángulo entre rectas

$A(1,2,1)$ y $r:\ \begin{cases}x+y=5\\3y+z=14\end{cases}$. Dirección de $r$: $(1,1,0)\times(0,3,1)=(1,-1,3)$.

a) Plano por $A$ perpendicular a $r$:

normal $(1,-1,3)$:

$$(x-1)-(y-2)+3(z-1)=0\ \Rightarrow\ \boxed{x-y+3z-2=0}$$

b) Ángulo entre $r$ y $s=AP$.

$P(1,4,2)\in r$ ($1+4=5$ y $12+2=14$). $\overrightarrow{AP}=(0,2,1)$:

$$\cos\theta=\frac{|(1,-1,3)\cdot(0,2,1)|}{\sqrt{11}\,\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt{55}}\ \Rightarrow\ \boxed{\theta\approx82{,}25^\circ}$$

4. El despertador

Suena el $80\,\%$ de las veces; si suena, llego tarde el $20\,\%$; si no suena, el $90\,\%$.

a) Árbol.

Suena Probabilidad Llego tarde Probabilidad conjunta
Sí $0{,}8$ Sí ($0{,}2$) $0{,}16$
Sí $0{,}8$ No ($0{,}8$) $0{,}64$
No $0{,}2$ Sí ($0{,}9$) $0{,}18$
No $0{,}2$ No ($0{,}1$) $0{,}02$

b)

«Llego tarde y ha sonado»: $0{,}8\cdot0{,}2=0{,}16=16\,\%$, que no es mayor que el $20\,\%$: la afirmación es falsa.

c)

$P(\text{no llegar tarde})=0{,}64+0{,}02=0{,}66>0{,}5$: la afirmación («menor que 0,5») es falsa.

d)

$P(\text{llego tarde})=0{,}16+0{,}18=0{,}34$:

$$P(\text{suena}\mid\text{tarde})=\frac{0{,}16}{0{,}34}=\frac8{17}\approx0{,}471$$